Теорема 3. 1. Если k1 и k2 - действительные различные корни уравнения (6), то функции

1. Если k₁ и k₂ - действительные различные корни уравнения (6), то функции:

(7)

являются ФСР и есть общее решение уравнения (4).

2. Если к - единственный действительный корень уравнения (6), то функции:

являются ФСР и

есть общее решение (4).

3. Если уравнение (6) имеет комплексно сопряженные корни , то функции:

(8)

являются ФСР и есть общее решение уравнения (4).

Пример. Решить задачу Коши:

Найдем сначала общее решение уравнения (9). Для этого составим харак-теристическое уравнение Оно имеет единственный действи-тельный корень k =3. Поэтому, согласно теореме общее решение уравнения (9) имеет вид: . Подставив в это равенство начальное условие (10), получим C₁= 0. Следовательно, y = C₂ x e^3x . Найдем производную .Отсюда и начального условия (11) найдем C₂ = 2.

Ответ: y= 2 x×e^3x.

3. Неоднородные уравнения .

ay¢¢ + by¢ + cy = 0 (13)

Следствие. Если - есть ФСР для однородного уравнения (13), то общее решение уравнения (12) имеет вид: y=y_ч + C₁ y₁ + C₂ y₂ "C₁,C₂ , где y_ч - частное решение (12)

Таким образом, основная задача при решении уравнения (12) состоит в нахождении одного частного решения.

Общий метод нахождения частного решения называется МЕТОДОМ ВАРИАЦИИ ПОСТОЯННЫХ и состоит в следующем.

Пусть есть ФСР уравнения (13). Частное решение уравнения (12) ищется в виде:

у = С₁(x) y₁ + C₂(x)y₂,(14)

где C₁(x), C₂(x) есть неизвестные функции.

Теорема 5. Функция (14) является частным решением уравнения (12),если функции C₁ = C₁(x), C₂ =C₂(x) удовлетворяют системе уравнений:

ì C¢₁ y₁ + C¢₂y₂ = 0 (15)

î C¢₁ y¢₁ + C¢₂ y¢₂ = f(x). (16)

Выразив из (15),(16) производные C¢₁, C¢₂ и проинтегрировав их, из (14) получим частное решение уравнения (12).