Основные определения. Определение 1. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

Определение 1. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

, (1)

где a,b,c - числа и .

Если f(x)= 0, то уравнение (1) называют однородным. В противном случае - неоднородным.

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a,b ], то для любой точки и любой пары чисел уравнение (1) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям

и определенное на всем отрезке [ a,b ].

2. Однородное уравнение

Обозначим через S_L множество решений однородного уравнения:

. (4)

Cледствием предыдущей теоремы является следующая.

Теорема 2. Множество S_L является линейным пространством функций, определенных на всей прямой и .

Определение. Функции y=y₁(x) и y=y₂(x), определенные при всех x, называются линейно-зависимыми, если $ C₁, C₂ такие, что

C₁²+C₂² ¹0 и C₁y₁(x) + C₂y₂(x) = 0 " x.

В противном случае функции y₁ и y₂ называются линейно-независимыми.

Из теоремы 2 следует, что базис в пространстве решений S_L состоит из двух линейно-независимых решений.

Определение. Базис в пространстве решений S_L называется фундаментальной системой решений (в дальнейшем ФСР).

Следствие. Если y₁,y₂ есть линейно-независимые решения уравнения (4), то есть ФСР, то общее решение является линейной комбинацией y₁ и y₂, то есть задается формулой:

y = C₁y₁+ C₂y₂

Таким образом, решение уравнения (4) свелось к отысканию ФСР.

Решение этой задачи связано с корнями квадратного трехчлена:

. (5)