2014-02-17
377
Метод вариации постоянных позволяет найти частное решение любого уравнения вида (12), однако, этот метод часто приводит к вычислению сложных интегралов.
Для неоднородного уравнения (12), в случаях, когда правая часть представляется функциями специального вида, удается проще найти частное решение методом неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим здесь два таких случая:
1. Пусть
f(x) = Pn(x) ea x,
где Pn(x) многочлен n-ой степени.
1) Если 
не является корнем характеристического уравнения, то частное решение можно найти в таком же виде
y ч = Qn(x) ea x,
где 
многочлен той же степени 
, коэффициенты которого нужно будет найти.
2) Если является корнем характеристического уравнения, кратности
к = 1,2, то частное решение можно найти в виде
y ч = x k Qn(x) ea x.
Замечание. В частном случае, когда a = 0, то есть
f(x) = Pn(x),
вид частного решения зависит от того, является ли нуль корнем характеристического уравнения.
Пример. Решить уравнение:
. (17)
Найдем сначала общее решение однородного уравнения 
Имеем: k 2 + k = 0, k 1 = 0, k 2 =- 1, Y = C 1+ C2 e -x.
Заметим, что 0 является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение ищем в виде: yч = x Q1(x), где 
многочлен первой степени, то есть 
. Поэтому
y ч = Аx2 + Bx.
Чтобы найти A и B, подставим y ч в (17): 
.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:
Отсюда А =6; В =-6.
Ответ: y = C1 + C2 e -x + 6 x 2 - 6 x общее решение.
2. Пусть
f(x) = ea x(P1(x) Cos b x + P2(x) Sin bx). (18)
Здесь P1(x), P2(x) многочлены, 
и старшая степень многочленов P1(x), P2(x) равна n.
Рассмотрим комплексное число 
.
1) Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение можно найти в виде
yч= ea x(Q1(x) cos b x + Q2(x) sin b x). (19)
2) Если корень характеристического уравнения, то
yч= x ea x(Q1(x) cos b x + Q2(x) sin b x). (20)
Здесь 
многочлены степени n с неопределенными коэффициентами.
Заметим, что если в (18) P1(x) = 0 или P2(x) = 0, все равно в формулах (19), (20) надо брать оба многочлена и 
.
