Функции многих переменных. Предел и непрерывность функций многих переменных. Частные производные и их геометрический смысл

С.

П.О.

Метрические пространства. Открытые и замкнутые множества. Понятие области

Семестр. ФНП. Кратные интегралы. Теория поля

В каждой лекции все формулы, определения и теоремы нумеруются так же, как и в предыдущей лекции, с цифры 1 (т.е. нумерация не продолжается от лекции к лекции). Это удобно при чтении лекций.

Лекция 1. Множества в мерном евклидовом пространстве и их типы. Функции нескольких переменных, их предел и непрерывность. Линии и поверхности уровня. Частные производные и их геометрический смысл. Дифференцируемость и её связь с частными производными функции

Напомним сначала некоторые сведения из теории метрических пространств.

В предыдущих лекциях вводилось понятие евклидова пространства, т.е. пространства со скалярным произведением (). Введем теперь в рассмотрение понятие метрического пространства.

Определение 1. Линейное пространство называется метрическим пространством, если в нем для любых векторов и определено число называемое расстоянием между и (или метрикой в), обладающее следующими свойствами:

3. Т. ( произвольные векторы из пространства ).

Любое евклидово пространство является одновременно и метрическим пространст-

вом с метрикой (проверьте выполнение свойств 1-3). Заметим, что число называется длиной (или нормой) вектора Так что в евкли-

довом пространстве Например, в мерном точечном евклидовом пространстве метрика вводится следующим образом:

В любом метрическом пространстве можно ввести понятие окрестности точки. Если

фиксированная точка метрического пространства то множество

называется окрестностью точки а множество –

проколотой окрестностью этой точки.

Мы будем работать в основном с евклидовыми пространствами и, поэтому дадим описание в них окрестности точки (см. (1)):

в пространстве открытый круг радиуса (см. Р.1);

в пространстве откры-

тый шар радиуса

Введем теперь понятие внутренней и граничной точки множества метрического пространства Точка называется внутренней точкой множества если она входит в вместе с некоторой своей окрестностью. Точка называется граничной точкой множества если в любой окрестности этой точки существуют точки, как принадлежащие так и не принадлежащие Множество всех граничных точек множества образуют границу которая обозначается символом или Можество называется открытым множеством, если все его точки внутренние. Если множеству принадлежат все его граничные точки, то оно называется замкнутым множеством. Точка называется предельной точкой множества если в любой окрестности этой точки существует точка

Теперь введем понятие области. При этом везде ниже рассматривается только евклидово пространство мерных упорядочных точек с метрикой (1). Заметим сначала, что множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, не выходящей из И наконец, любое связное открытое множество в называется областью.

Определение 2. Говорят, что на множестве задана функция переменных отображающая множество в множество если каждому поставлено в соответствие единственное число по закону. При этом множество называется областью определения функции а множество называется областью значений функции.

Часто в случае функцию многих переменных записывают в виде а в случае в виде В случае множество точек удовлетворяющих уравнению называется графиком функции двух переменных (см. Р.2). Заметим, что при аналитической записи функции нескольких переменных под областью определения понимают естественную область определе-

ния этой функции, т.е. множество аргументов при которых выражение имеет смысл (может быть вычислено). Например, областью определения функции яляется множество т.е. замкнутый круг радиуса, равного единице.

Замечание 1. При изображении области на плоскости рисуют кривую Пусть эта кривая простая, т.е. непрерывна и без точек самопересечения. Тогда берут произвольную точку и подставляют её в Если то эта точка и все точки находящиеся на кривой и по одну сторону от неё, будут лежать в области Это правило действует и в том случае, когда уравнение задаёт на плоскости несколько простых кривых.

График функции невозможно изобразить, если число независимых переменных больше двух. Однако в случае функции трех переменных можно привлечь некоторые геометрические иллюстрации. Поверхность

в трехмерном пространстве называется поверхностью уровня функции

. Изменяя постоянную, можно визуально себе представить все детали поверхности в плоскости В случае функции двух переменных линии являются плоскими кривыми, называемыми линиями уров-

ня. Ими пользуются в случае, когда объёмную фигуру хотят изобразить на плоскости. Например, при составлении географических карт, гора (холм) изображается в виде семейства линий уровня с ответвлениями во вне небольших отрезков, а впадины – с ответвлениям во внутрь коротких отрезков (посмотрите эти изображения на любой географической карте).

Дадим теперь понятия предела и непрерывности функции многих переменных. Поскольку эти определения аналогичны определениям функции одной переменной, то сделаем это кратко. Пусть предельная точка множества а произвольная точка пространства

Определение 3. Следующее высказывание является определением предела функции в точке

[1]

Определение 4. Функция называется непрерывной в точке если определена в точке и некоторой её окрестности и если

Для функции двух переменных определение предела записывается так:

Отсюда следует, что если предел существует, то он не зависит от того, по какому пути точка стремится к предельной точке (см. Р.3).Если найдутся два различных пути, по которым указанный предел имеет различные значения, то не существует.

Заметим, что все теоремы об арифметических действиях над пределами и непрерывными функциями, а также теоремы о переходе к пределу под знаком непрерывной функции непрерывности сложной функции и теорема о знаке предела, сформулированные для функций одной переменной, очевидным образом переносятся на функции многих переменных (рекомендуем записать соответствующие формулировки в качестве упражнения).

Пример 1. Вычислить предел

Решение. Перейдем к полярным координатам с помощью форомул Тогда Если точка стремится к точке по пути то и Если по пути то и тогда Таким образом, по двум различным путям, ведущим в точку рассматриваемый предел оказал-

ся различным. Следовательно, предел не существует.

Выписанные ниже пределы

называются повторными пределами функции в точке Они могут не совпадать друг с другом.

Теорема 1. Пусть существует обычный предел и пусть при любом фиксированном из некоторой окрестности точки существует предел Тогда существует и повторный предел и он равен двойному пределу Если, кроме того, при каждом из некоторой окрестности точки существует предел то

Введем теперь понятие элементарной функции нескольких переменных. Понятие простейщей элементарной функции одной переменной было дано в предыдущем семестре. Составим теперь таблицу всех простейших элементарных функций по каждой из переменных Тогда функция переменных полученная из функций указанной таблицы путём применения к ним конечного числа операций и взятия функции от функции (образования сложных функций), называется элементарной функцией переменных (общего вида).

Используя теоремы об арифметических действиях над пределами и пределе сложной функции, докажем следующий результат.

Теорема 2. Любая элементарная функция переменных непрерывна в любой внутрен-

ней точке своей области определения.

Например, функция является элементарной с областью определения

Все точки этого множества – внутренние, поэтому данная функция непрерывна в

Поскольку все результаты, касающиеся функций двух переменных, очевидным образом переносятся и на функции бо̀льшего числа переменных, то дальнейшее изложение материала

будем давать для функций двух переменных.

Перейдем к изложению дифференциального исчисления функций многих переменных. Пусть функция определена в точке и некоторой её окрестности

Определение 3. Пределы

(если они существуют и конечны) называются частными производными функции в точке по и по соответственно и обозначаются

(часто штрихи опускают и пишут просто).

Геометрический смысл частных производных состоит в следующем. Проведем плоскость

Она вырежет из поверхности кривую (см. Р.4)

Угловой коэффициент этой кривой в точке будет равен И аналогично, частная производная является угловым коэффициентом кривой

в точке

Из определения 3 вытекает, что для вычисления частной производной надо зафиксировать переменную (сделать ее параметром) и взять обычную производную по как функции одной переменной. Аналогичное замечание справедливо и по отношению к частной производной. Например, (здесь означает, что переменная фиксируется). И аналогично,

3. Дифференцируемость функций многих переменных, связь с частными производными. Полный дифференциал. Достаточное условие дифференцируемости

Для функции одной переменной дифференцируемость равносильно существованию конечной производной. Для функций многих переменных это не так. Перейдем к разъяснению этого факта.

Определение 4. Говорят, что функция (определенная в точке и некоторой её окрестности) дифференцируема в точке если её полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

где числа, не зависящие от и При этом линейная часть приращения (3) называется дифференциалом функции в точке и обозначается

Теорема 3 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные, причем где и совпадают с числами, указанными в (3). При этом [2]

Доказательство. Пусть дифференцируема в точке Тогда имеет место представление (3), верное для любых приращений лишь бы Значит, оно верно в частности и для приращений Для таких приращений соотношение (3) записывается в виде

Это означает, что существует частная производная Взяв приращения вида получим, что существует частная производная И, наконец, если

в (3) перейти к пределу при то получим, что Это означает, что функция непрерывна в точке Теорема доказана.

Замечание 2. Из существования частных производных не вытекает дифференцируемость функции в точке Например, для функции

частные производные существуют и равны нулю, но эта функция не является дифференцируемой в точке (докажите это в качестве упражнения).

Теорема 4 ( достаточные условия дифференцируемости ). Пусть функция имеет в точке и некоторой её окрестности частные производные и Если эти производные непрерывны в точке то функция дифференцируема в точке

Упражнение 1. Покажите, что функция имеет в точке и некото-рой её окрестности частные производные и но они не являются непрерывными в ука-

занной точке(поэтому дифференцируемость в точке нельзя гарантировать).

Лекция 2. Дифференцирование сложной функции. Неявная функция и её дифференцирова-