2014-02-09
492
Утверждение 2.
Доказательство.
Утверждение 1.
Полученные с помощью (5) xnÎ(xт-Δ,xт+Δ) для любого целого n≥0.
В силу (8)
|x0-xт|<Δ,
из (5),(6) и (7) получим
|x1-xт|=|φ(x0)-φ(xт)|≤q|x0-xт|,
|x2-xт|=|φ(x1)-φ(xт)|≤q|x1-xт|≤q2| x0-xт|,
…
|xn-xт|=|φ(xn-1)-φ(xт)|≤q|xn-1-xт|≤q2| xn-2-xт|≤…≤ qn| x0-xт|<Δ, (9)
…
Из последнего неравенства |xn-xт|<Δ следует, что для любого целого n≥0 верно утверждение 1.
█
Последовательность {xn} сходится при n→∞ к пределу xт, являющемуся корнем уравнения.
В силу (5) и (6):
|xn+m-xn|=|φ(xn+m-1)-φ(xn-1)|≤q|xn+m-1-xn-1|≤q2|xn+m-2-xn-2|≤…≤qn|xm-x0| (10)
Следовательно, в силу (7) для любого целого m≥0 
. Значит в силу признака Коши* предел существует 
. Докажем теперь, что xlim=xт. Из (10) следует (для определённости возьмём m=1), что 
, т.е. при n→∞ xlim=xn+1=xn, а в силу (5) xn+1=φ(xn) => xlim=xn=φ(xn) => xlim=φ(xlim). Из этого равенства следует, что xlim есть корень уравнения (4), т.е. xlim=xт.
█
