Мартингалы и субмартингалы

Рассмотрим последовательность случайных величин x ₁, x _2, …, x_n, и предположим, что k и l индексы такие, что и .

Определение. Последовательность случайных величин x ₁, x _2, …, x_n образуют мартингал, если имеет место равенство (равенство мартингала):

= x_l,

и образуют субмартингал, если имеет место неравенство:

x_l.

Пример. Пусть h ₁, h _2, …, h_n независимые случайные величины с E h_j = 0 для всех j = 1,2 ,…,n. Определим x_k = . Покажем, что последовательность x ₁, x _2, …, x_n образуют мартингал. Пусть , тогда x_k = = x_l + , поэтому = + . Так как случайная величина x_l измерима относительно - алгебры A(x₁, x_2, …, x_l), отсюда следует, что = x_l. По условию, h ₁, h _2, …, h_n независимые случайные величины, поэтому не зависит от , следовательно, по свойству 7 условного математического ожидания (см. 2.9.1)

= = = 0.

Таким образом, мы получили = x_l, т.е. последовательность x ₁, x _2, …, x_n образуют мартингал.

В заключение без доказательства приведем несколько полезных утверждений.

Теорема 1. Пусть последовательность случайных величин x ₁, x _2, …, x_n образуют мартингал и предположим, что выпуклая функция. Тогда последовательность случайных величин , k = 1,2,…, n образуют субмартингал.

Теорема 2. Пусть последовательность случайных величин x ₁, x _2, …, x_n образуют субмартингал и предположим, что k и l индексы такие, что и . Пусть A(x ₁, x _2, …, x_l) = A - -алгебра, порожденная случайными величинами x ₁, x _2, …, x_l. Тогда выполняется неравенство:

.

Теорема 3. Пусть последовательность случайных величин x ₁, x _2, …, x_n образуют субмартингал, тогда имеет место