Рассмотрим последовательность случайных величин x 1, x 2, …, xn, и предположим, что k и l индексы такие, что и .
Определение. Последовательность случайных величин x 1, x 2, …, xn образуют мартингал, если имеет место равенство (равенство мартингала):
= xl,
и образуют субмартингал, если имеет место неравенство:
xl.
Пример. Пусть h 1, h 2, …, hn независимые случайные величины с E hj = 0 для всех j = 1,2 ,…,n. Определим xk = . Покажем, что последовательность x 1, x 2, …, xn образуют мартингал. Пусть , тогда xk = = xl + , поэтому = + . Так как случайная величина xl измерима относительно - алгебры A(x1, x2, …, xl), отсюда следует, что = xl. По условию, h 1, h 2, …, hn независимые случайные величины, поэтому не зависит от , следовательно, по свойству 7 условного математического ожидания (см. 2.9.1)
= = = 0.
Таким образом, мы получили = xl, т.е. последовательность x 1, x 2, …, xn образуют мартингал.
В заключение без доказательства приведем несколько полезных утверждений.
Теорема 1. Пусть последовательность случайных величин x 1, x 2, …, xn образуют мартингал и предположим, что выпуклая функция. Тогда последовательность случайных величин , k = 1,2,…, n образуют субмартингал.
|
|
Теорема 2. Пусть последовательность случайных величин x 1, x 2, …, xn образуют субмартингал и предположим, что k и l индексы такие, что и . Пусть A(x 1, x 2, …, xl) = A - -алгебра, порожденная случайными величинами x 1, x 2, …, xl. Тогда выполняется неравенство:
.
Теорема 3. Пусть последовательность случайных величин x 1, x 2, …, xn образуют субмартингал, тогда имеет место