Основное уравнение динамики вращательного движения

Примечание.

Соответственно рисунку слева, модуль векторного произведения, то есть собственно величина момента, определяется произведением – , а направлениемомента даётся определением правой тройки векторов .

Определение 2.

Моментом – силы – , приложенной в точке т.А, относительно произвольной оси называется векторное произведение радиуса-вектора и составляющей силы , лежащих в плоскости, перпендикулярной оси и проходящей через точку т. А:

.

Пусть имеется твердое тело произвольной формы, которое может вращаться вокруг оси ОО. Разбивая тело на малые элементы, можно заметить, что все они вращаются вокруг оси ОО в плоскостях, перпендикулярных оси вращения с одинаковой угловой скоростью – «w».

Движение каждого из отдельных элементов малой массы m_i описывается вторым законом Ньютона.

Для i -го элемента имеем:

(1)

где f_ik (k = 1,2,...N) представляют собой внутренние силы взаимодействия всех элементов с выбранным элементом, а F_i - равнодействующая всех внешних сил, действующих на i - элемент.

Умножим обе части уравнения (1) на , получим, что:

(2)

В правой части получившегося уравнения произведения представляют собой моменты внутренних сил относительно оси вращения. Аналогично, произведения являются моментами внешних сил, действующих на i -элемент.

Просуммируем слагаемые в уравнении движения по всем элементам, на которые было разбито тело.

Согласно рисунку, сумма моментов внутренних сил при сложении будет равна НУЛЮ!

Суммарный момент всех внешних сил обозначим – ,где

Левая часть уравнения (2) с учетом соотношения того, что представляется в таком виде:

= =, (3)

где момент инерции тела.

Уравнение (3) – основное уравнение вращательного движения.

4.Момент инерции твёрдого тела.

Определение 1.

Величина называется моментом инерции твердого тела