Выполнив дифференцирование в (21.8) по температуре, получим

.

При Т >> Θ отношение (Θ / Т) стремится к 0, и теплоемкость С стремится к значению 3R, что соответствует закону Дюлонга и Пти.

При температурах Т<< Θ теплоемкость стремится к нулю (следствие теоремы Нернста – энтропия при Т =0 равна 0).

Эта теория не позволила получить степенной закон (21.3) изменения теплоемкости при очень низких температурах. Теория Эйнштейна была усовершенствована Дебаем.

Согласно Дебаю атомы твердого тела сильно связаны между собой и кристалл рассматривается как система 3 N_A связанных колебаний, соответствующих 3 N_A степеням свободы, причем частоты всех коле­баний различны.

Чтобы найти энергию кристалла вводится спектральная плотность g (ν), которая определяется как число колебаний в интервале d ν.

Тогда энергию кристалла можно получить, умножив среднюю энергию колеблющегося атома (осцилля­тора) на g (ν), а затем проинтегрировать получен­ное выражение по всем частотам колебаний кристалла

. (21.9)

Можно показать, что число колебаний g(ν) для 1 моля кристаллавыражается формулой:

, (21.10)

где частота , которая равна

,

определяет верхнюю границу спектра колебаний решетки (частота Дебая ). u - скорость звука, N –число осцилляторов в объеме кристалла V.

Подставив выражения (21.7) для средней энергии и (21.10) для спектральной плотности колебаний в формулу (21.9) получим:

. (21.11)

Если ввести характеристическую температуру Дебая θ =hν _D /k и переменную , то формулу (21.11) можно представить в виде:

. (21.12)