2014-02-18
1729
Задача 1.
Пусть производится 3 независимых опыта, в каждом из которых событие А происходит с одинаковой вероятность p. Определить вероятность того, что в серии из 3 опытов событие А произойдет ровно 2 раза.
Или иначе:
Вероятность получения студентом стипендии равна p. Определить вероятность того, что в студент будет получать стипендию в двух из оставшихся трех семестрах.
Решение .
Сложное событие А – студент получает стипендию в 2-х из 3-х семестрах.
Событие Аi – студент получает стипендию в i -ом семестре,
i – студент не получает стипендию в i -ом семестре,
Р(Аi)= p =0,8, Р( i)= 1- p =0,2.
А = А 1 А 23+ А 12 A3 + 1 А 2 А3;
Согласно следствию теоремы 1(несовместные события),
Р(А) = Р(А 1 А 23+ А 12 A3 + 1 А 2 А3) = Р( 1 А 2 А3) + Р(А 12 A3) + Р(А1А 23 ).
Согласно следствию теоремы 2 (Аi – события независимые, i = 1,2,3), т.е.
Р(А) = Р(А1)Р(А2)Р( 3 ) + Р(А 1 )Р( 2 )Р(A3) + Р( 1 )Р(А2) Р(А3) =
= p∙p∙(1-p)+ p∙(1-p)∙p +(1-p) ∙p∙p=3∙ (1-p)= C32 ∙ p2∙ (1-p).
Р(А) =C32 ∙ p2∙ (1-p) = 3∙0,64∙0,2=0,384.
Таким образом, задачи на повторение независимых опытов могут быть решены с помощью основных теорем теории вероятностей. Однако в условиях большого числа испытаний использование основных теорем становится малоэффективным из-за больших временных затрат на вычислительные процедуры.
|
|
|
Процедура полного перебора оправдывает себя только при небольшом числе испытаний, в случае же большого числа испытаний, гораздо эффективнее использовать формулу Бернулли.
Теорема 4. (Теорема Бернулли).
Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А появляется с одинаковой вероятностью р, то вероятность того, что в этих испытаниях событие А произойдет ровно k раз (безразлично, в какой последовательности) определяется по формуле
(4.1)
Формула (4.1) известна как формула Бернулли.
Рекомендуется использовать формулу Бернулли при числе испытаний не превышающем числа 10.
Следует также помнить, что формула (4.1) может быть использована только в условиях биномиального эксперимента, то есть при выполнении следующих требований:
– эксперимент должен состоять из фиксированного числа испытаний (задано n);
– каждое испытание приводит либо к успеху, либо к неудаче (к наступлению или не наступлению события А);
– вероятность успеха (неудачи) во всех испытаниях должна быть одинаковой;
– все испытания должны быть независимыми друг от друга.
