Тригонометрический ряд Фурье

Было установлено что любое сложное колебание можно представить суммой синусоид и косинусоид гармонически связанных друг с другом:

где -круговая частота самого низкочастотного колебания которая связана с периодом этого колебания:

-первая гармоника.

Все остальные гармоники пропорциональны первой .

То тогда коэффициенты этого ряда рассчитываются следующим образом:

Подобного рода колебания представляют собой ограниченный класс. Кроме того, функция является периодической.

теперь периодическая функция равная :

В 1807 году Фурье доказал что любую функцию (даже такую которая имеет разрывы) можно представить в виде тригонометрического ряда, а коэффициенты рассчитываются также по формулам, интервалы интегрирования могут быть конечны.

Для анализа этот конечный интервал разбивают на полуинтервалы . Для периодических сигналов как видно из формулы (1) число гармоник равно бесконечности. Однако на практике число гармонических колебаний может быть ограничено. Дело в том что амплитуды -тых гармоник убывают с ростом .

Среднеквадратическая погрешность: