Составление характеристического уравнения

КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД

Задача анализа переходных процессов заключается в общем случае в определении мгновенных значений токов и напряжений всех или части ветвей электрической цепи в произвольный момент времени после коммутации. Для этого необходимо найти общее решение системы уравнений электрической цепи: топологических, составленных по законам Кирхгофа

и компонентных, связывающих токи и напряжения ветвей. Эти уравнения содержат не только линейные соотношения между напряжениями и токами резистивных элементов, но и дифференциальные для индуктивностей и емкостей:

.

А задача расчета переходных процессов в линейной цепи может быть сведена к решению системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (метод переменных состояния). Общее же решение системы уравнений электрической цепи получается как сумма частного решения неоднородного уравнения, содержащего заданные ЭДС и токи источников i_пр(t) и решения i_св(t) однородного уравнения, которое получается из уравнений электрической цепи при равенстве нулю заданных ЭДС и токов источников:

,

,

Общее решение имеет вид

.

Составляющие удовлетворяют условиям:

Принужденная составляющая, создаваемая постоянными, синусоидальными и периодическими источниками может быть рассчитана уже известными методами.

Характеристическое уравнение необходимое для нахождения свободной составляющей. Егоможно составить, не прибегая к составлению (системы) дифференциальных уравнений.

Если свободная составляющая тока i_св = Ae^pt, то напряжение на ее зажимах ветви:

.

Если ввести «операторное» сопротивление

,

то свободные напряжения и токи будут связаны законом Ома

.

Теперь контурное уравнение для свободных токов будет иметь вид:

1. Эта система имеет ненулевое решение,если определитель системы равен нулю

это и есть характеристическое уравнение (ХУ).

2. Уравнение для входного сопротивления схемы относительно зажимов источника ЭДС, включенного в некоторую ветвь определяется дробью. Числитель этой дроби представляет собой контурный определитель, а знаменатель – алгебраическое дополнение соответствующего элемента определителя. Поэтому характеристическое уравнение:

Здесь Z_ВХ (p) – входное сопротивление схемы относительно двух зажимов, получающихся в результате размыкания любой ветви (пассивной) схемы.

Пример:

При размыкании ветви 1:

При размыкании ветви 2: