Решение задачи. Рис. 2.1- К постановке задачи теплопроводности в пластине

Рис. 2.1- К постановке задачи теплопроводности в пластине

Если пластина нагревается с одной стороны, а другая сторона изолирована, например, при нагреве заготовок, лежащих на подине печи, то ее можно рассматривать, как половину пластины; при этом изолированная сторона будет соответствовать середине пластины. Следовательно, за расчетную толщину пластины следует в этом случае принимать ее полную толщину.

При рассмотрении процессов теплопроводности необходимо использовать дифференциальное уравнение переноса тепла. Так как тело плоское, используем дифференциальное уравнение теплопроводности в декартовой системе координат

где - время процесса, с;

- искомая температура, ;

- массовая теплоёмкость, Дж/кг×К;

- плотность, кг/м³;

- коэффициент теплопроводности, Вт/м×К.

Для простоты задачу будем решать в линейной постановке, т. е. при постоянных, независящих от температуры теплофизических свойствах. Ввиду малости толщины пластины по сравнению с её высотой и шириной можно пренебречь осевыми и продольными растечками тепла.

С учётом сказанного дифференциальное уравнение теплопроводности для данной задачи примет вид:

, , (2.1)

где - коэффициент температуропроводности, м²/с.

К уравнению (2.1) следует добавить краевые условия или условия однозначности:

— начальное условие

(2.2)

— и граничные условия на:

• левой (2.3)

• правой границе , (2.4)

где - температура на поверхности пластины, .

Уравнение (2.3) вытекает из условия симметрии или адиабатности на оси (см. рис. 2.1).

Система дифференциальных уравнений (2.1)…(2.4) представляет собой математическую постановку рассматриваемой задачи.

Уравнение (2.1) является параболическим уравнением математической физики в частных производных, второго порядка. Поскольку дифференциальные уравнения (2.1)…(2.4), которые описывают процесс теплопроводности в теле простой формы линейные, можно получить точное аналитическое решение, применяя классический метод Фурье, т.е. метод разделения переменных [20].

Представим, что температура определяется произведением двух функций, одна из которых зависит только от пространственной координаты, а вторая - только от времени. Это эквивалентно введению следующей замены переменных:

. (3.1)

Дифференцируя (3.1) по времени и дважды по координате, а затем подставляя в уравнение (2.1), получим

. (3.2)

Известно, что две функции от двух разных и независящих друг от друга аргументов могут быть равны при любых значениях последних только в том случае, если они равны одной и той же постоянной величине, равной, например – k². Тогда из выражения (3.2) вытекает два уравнения

Решением последних будет

Подставляя U и V в уравнение (3.1), получим:

(3.3)

Постоянные интегрирования С, D и k находим из начального (2.2) и граничных условий (2.3) и (2.4). Подробный вывод приведён в [20].

Окончательно решение уравнения (3.3) в безразмерной форме, согласно [3] имеет вид:

, (3.4)

где - безразмерная, относительная температура, 0≤θ≤1;

— первоначальная, максимально возможная разность температур, ⁰С;

- безразмерная координата, ;

- безразмерное время, число Фурье;

- тепловая амплитуда;

- число Био;

- характеристические числа, которые находятся из следующего трансцендентного уравнения:

. (3.5)

Из анализа уравнения (3.5) видно, что имеет бесчисленное множество значений. Наиболее просто можно определить корни уравнения (3.5) графическим путем. Если левую часть уравнения обозначить через , а правую часть — через , то пересечения котангенсоиды с прямой (рис. 3.1) дают нам значения корней характеристического уравнения. Из рис. 3.1 видно, что имеется бесчисленное множество корней , причем каждое последующее решение больше предыдущего: