2014-02-24
571
10. Функция f (x) называется возрастающей на множестве X Ì D (f) если
, или, что тоже самое
.
20. Функция f (x) называется неубывающей на множестве X Ì D (f) если
, или, что тоже самое
.
30. Функция f (x) называется убывающей на множестве X Ì D (f) если
, или, что тоже самое
.
40. Функция f (x) называется не возрастающей на множестве X Ì D (f) если
, или, что тоже самое
.
Из приведенных определений ясно, что понятие возрастания и убывания функции является понятием глобальным, в отличие от, скажем, непрерывности являющейся понятием локальным.
Функции возрастающие на множестве X или убывающие на множестве X называются монотонными функциями.
Для последовательностей:
10. Последовательность { xn } называется возрастающей, если
" m, n Î N | m > n Þ xm > xn.
20. Последовательность { xn } называется убывающей, если
" m, n Î N | m > n Þ xm < xn.
30. Последовательность { xn } называется не возрастающей, если
" m, n Î N | m > n Þ xm £ xn.
40. Последовательность { xn } называется не убывающей, если
" m, n Î N | m > n Þ xm ³ xn.
Для монотонных функций:
*.Если функция монотонна на множестве, то она монотонна на всяком его подмножестве.
*.Если функция одноименно монотонна на промежутках с общей точкой, то она одноименно монотонна на их объединении.
*.Максимальным промежутком монотонности называется такой промежуток монотонности, который не содержится ни в каком большем промежутке монотонности.
*.Максимальные промежутки одноименной монотонности либо совпадают, либо не имеют общих точек.
*.Максимальные промежутки монотонности (разноименной) могут быть смежными и иметь общий конец.
