2014-02-24
2714
10. Если функции, имеющие предел в некоторой точке совпадают на множестве сгущающемся в этой точке, то их пределы равны.
20. Если последовательности, имеющие предел, содержат совпадающие подпоследовательности, то их пределы равны.
30. Если функции совпадают в проколотой окрестности предельной точки, то их пределы равны в случае существования.
40. Если две последовательности совпадают, начиная с некоторого номера, то их пределы существуют или не существуют одновременно, и в случае существования равны.
50. Если из двух функций одна не превышает другой в проколотой окрестности предельной точки, то предел первой не превосходит предела второй в случае их существования.
60. Если предел одной функции больше предела второй в некоторой точке, то существует проколотая окрестность этой точки, в которой первая функция больше второй.
∆ 10,20: 
, 
и имеется множество 
:
.
Тогда 
.
30,40: Во-первых: 
.
Во-вторых: 
.
60: Пусть 
; 
; 
, тогда
,
.
Выберем 
; 
,
тогда 
.
50: Пусть 
.
Докажем, что 
.
Доказательство здесь проведем от противного.
Допустив, что 
, получим по п.60 
,
а это противоречит условию теоремы. ▲
и, наконец
Т0. (Принцип двустороннего ограничения, теорема о двух милиционерах).
Если две функции имеют общий предел и в окрестности предельной точки третья функция заключена между ними, то она имеет тот же предел.
∆ следует из 50 и 60.
Пусть 
,
,
и, т.к. 
и 
,
то 
т.е. 
. ▲
