Предел функции по Гейне ( по последовательности)

20 21 22 23 24 25 26

Пределом функции f (x) по последовательности { x_n } называется .

Пример: Рассмотрим . Для этой функции не существует.

Однако при и, следовательно, .

Т°. Если существует предел функции f (x) по всякой последовательности

x_n ® a (x_n Î D (f)) отличной от а то все эти пределы равны и существует

равный их общему значению предел функции в точке а.

∆

а) Пусть: x_n ® a (x_n ¹ a) и ().

и пусть: ; ; и .

Рассмотрим новую последовательность такую, что: а (k Î N) т.е. между элементами последовательности вставим элементы последовательности .

Учитывая, что , для этой последовательности получим: .

Но … начиная с некоторого номера k ₁.

начиная с некоторого номера k ₂.

Тогда .

Из свойства отделимости точек числовой прямой следует, что Æ и значит не существует , если .Значит: .

б) Пусть теперь . Здесь b общее значение пределов функции по всем последовательностям. Тогда:

Построим последовательность такую, что: N .

Для нее и, следовательно, , что вновь противоречит условию теоремы. Как говорится, противоречие доказывает теорему. ▲

Доказанная теорема свидетельствует о том, что:

Предел функции по Гейне и по Коши – понятия эквивалентные.

§ Число e.

-иррациональное число.

∆ Рассмотрим последовательность :

1⁰.

+…+=

Тогда:

Из последнего неравенства следует, что:

Т.е. последовательность -ограничена.

2⁰. ,

т. е. и, следовательно, последовательность возрастающая.

Таким образом, установлено, что последовательность монотонно возрастающая и ограниченна сверху. Следовательно, существует и конечен предел этой последовательности: R.

Предел этой последовательности называется числом e. Некоторое количество первых значащих цифр его численного значения приведено выше.

Для их запоминания часто применяют следующее мнемоническое правило: запомните число 2,7; далее два раза напишите год рождения Льва Толстого 1828;

и два раза половина прямого угла 45, между которыми стоит прямой угол 90.

Обозначение ввел Я. Эйлер (- первая буква в слове exponenta). Обозначение стало общеупотребительным, так как напоминает и об Я. Эйлере (- первая буква фамилии Euler Leonard, 1707-1783).

Эйлер ввел также (греч. - окружность) в 1736 г. И хотя еще в 1706 г. то же сделал У. Джонсон (W. Johnson), только после Эйлера обозначение стало обще употреби-тельным.