2014-02-24
849
Пределом функции f (x) по последовательности { xn } называется 
.
Пример: Рассмотрим 
. Для этой функции 
не существует.
Однако при 
и, следовательно, 
.
Т°. Если существует предел функции f (x) по всякой последовательности
xn ® a (xn Î D (f)) отличной от а то все эти пределы равны и существует
равный их общему значению предел функции в точке а.
∆
а) Пусть: xn ® a (xn ¹ a) и 
(
).
и пусть: 
; 
; и 
.
Рассмотрим новую последовательность 
такую, что: 
а 
(k Î N) т.е. между элементами последовательности 
вставим элементы последовательности 
.
Учитывая, что 
, для этой последовательности получим: 
.
Но … 
начиная с некоторого номера k 1.
начиная с некоторого номера k 2.
Тогда 
.
Из свойства отделимости точек числовой прямой следует, что 
Æ и значит не существует 
, если .Значит: 
.
б) Пусть теперь 
. Здесь b общее значение пределов функции по всем последовательностям. Тогда:
.
Построим последовательность 
такую, что: 
N 
.
Для нее 
и, следовательно, 
, что вновь противоречит условию теоремы. Как говорится, противоречие доказывает теорему. ▲
Доказанная теорема свидетельствует о том, что:
Предел функции по Гейне и по Коши – понятия эквивалентные.
§ Число e.
-иррациональное число.
∆ Рассмотрим последовательность 
:
10. 
+…+
=
.
Тогда:
.
Из последнего неравенства следует, что:
.
Т.е. последовательность -ограничена.
20. 
,
т. е. 
и, следовательно, последовательность возрастающая.
Таким образом, установлено, что последовательность монотонно возрастающая и ограниченна сверху. Следовательно, существует и конечен предел этой последовательности: 
R.
Предел этой последовательности называется числом e. Некоторое количество первых значащих цифр его численного значения приведено выше.
Для их запоминания часто применяют следующее мнемоническое правило: запомните число 2,7; далее два раза напишите год рождения Льва Толстого 1828;
и два раза половина прямого угла 45, между которыми стоит прямой угол 90.
Обозначение ввел Я. Эйлер (- первая буква в слове exponenta). Обозначение стало общеупотребительным, так как напоминает и об Я. Эйлере (- первая буква фамилии Euler Leonard, 1707-1783).
.
Эйлер ввел также 
(греч. 
- окружность) в 1736 г. И хотя еще в 1706 г. то же сделал У. Джонсон (W. Johnson), только после Эйлера обозначение стало обще употреби-тельным.
, 3.141…3.146
Тот же результат можно получить, воспользовавшись неравенством Я. Бернулли:
если 
и 
, причем 
.
Для натурального 
, 
, и положительного 
неравенство очевидно из формулы бинома:
. Для натурального , , и 
доказывается методом математической индукции: первый шаг индукции 
, предположение индукции 
, индуктивный шаг 
.
В общем случае (для вещественных показателей) легко доказывается методами дифференциального исчисления.
Для последующего рассуждения требуется только доказанное здесь (натуральное).
>
=
= 
.
- последовательность 
возрастает (
).
Далее определим последовательность:
. Тогда для нее: 
= 
=
= 
>
> 
= 
> 1.
- последовательность 
убывает. Очевидно 
.
Если 
, то 
- любой член одной последовательности ограничивает другую последовательность.
Следовательно: 
. Но 
.
