Отбрасывая в выражении для все (положительные) слагаемые после k +1 имеем:
Существование предела слева доказано, предел справа очевидно существует, поэтому в пределе получаем двойное неравенство:
; .
Учитывая что, и правая и левая части неравенства стремятся к , по принципу двустороннего ограничения получаем:
;
- представление в виде суммы числового ряда.
Теперь: = <
<= …
Заменяем множители, большие на (уменьшение знаменателей – увеличение слагаемых и суммы)
… = < , поскольку:
.
Значит . Обозначая , , получим
. Þ , где .
Пользуясь этой формулой легко вычислить вручную (без калькулятора) с любой разумной точностью (достаточной для большинства «практических» задач). Прежде чем делать это, получим ещё одно представление числа в виде. Для этого заметим, что:
=
= =
= .
Величина убывает к , поскольку слагаемые в сумме положительны.
=
= Þ .
Для разности имеем
=
= <
< =
= ,
поскольку .
, где .
Пользуясь полученными формулами, можно вычислим число с необходимым количеством верных знаков после запятой.
|
|