Необходимое и достаточное условие локального экстремума функции

Дифференцирование неравенств.

Т°. Если функции g (x) и f (x) непрерывны в правой полуокрестности точки x ₀ и выполнены неравенства:

; ; …;.

Тогда: .

D 1) Рассмотрим функцию .

Тогда ,

при этом .

т.е. F ₁(x ₀) ³ 0 и возрастает ().

Значит F ₁(x) ³ 0 т.е. .

2) Теперь рассмотрим функцию .

… … … …

.

3) … … … ▲

Def: Точка х ₀ в которой (x ₀)=0 называется стационарной. Точка х ₀ в которой (x ₀)=0 или (x) = ¥ или (x) не существует называется критической.

Т°. Если для функции f (x) в точке х ₀ достигается внутренний, локальный экстремум, то точка х ₀ – критическая.

D Факт этот следует из теоремы Ферма – это и есть необходимое условие экстремума. Однако не достаточное. Это иллюстрируют следующие примеры: