Достаточное условие экстремума

Т°. Если в окрестности точки внутреннего экстремума меняет знак с “ – ” на ” + ” то в критической точке имеется минимум функции; если меняет значение с “ + ” на ” – ” то в точке х ₀ функция имеет максимум.

Т°. Пусть в т. х ₀ функция n – кратно дифференцируема, причем все производные

f ^(k)(x ₀) до (n – 1) включительно равны нулю, и f ^{( n )}(x ₀) ¹ 0 то в точке х = х ₀:

при четном n функция имеет минимум если > 0 и максимум если < 0;

при нечетном n функция не имеет экстремума. Она возрастает если > 0 и убывает если < 0.

D Утверждения следуют из разложения функции f (x) в ряд Тейлора в точке х ₀:

. ▲

Задачи для исследования функций на экстремумы:

Для нижеуказанных функций установить характер экстремума в точке х = 0:

1). ; 2). ;

3). ; 4). .

На иллюстрациях приведены эскизы первых трех функций. Вверху справа – для функции 1, внизу справа – для функции 2, внизу – две иллюстрации к функции 3, но в разных масштабах. Слева для , справа для . Они показывают динамику изменения функции при . Для функции 4 исследование следует провести самостоятельно.