Выпуклость (вогнутость функций)

Пример.

= = = 0.

Def: Определенная на промежутке I функция f (x) называется выпуклой (вогнутой) если ее дуга не ниже (не выше) стягивающей ее хорды.

.

Знак неравенства в заключении говорит о характере выпуклости (вогнутости).

(>) – строгая выпуклость, (³) – не строгая выпуклость,

(<) – строгая вогнутость, (£) – не строгая вогнутость.

*. Дуга функции f (x) выпуклой на промежутке I лежит ниже касательной к графику функции в произвольной внутренней точке промежутка I.

*. Дуга функции f (x) вогнутой на промежутке I лежит выше касательной к графику функции в произвольной внутренней точке промежутка I.

*. Для выпуклой функции угловой коэффициент хорды не возрастает при возрастании абсциссы правого конца хорды (эквивалент определения выпуклости).

Для выпуклой функции:

Þ .

Производная выпуклой функции на промежутке не убывает.

*. Для вогнутой функции угловой коэффициент хорды не убывает при возрастании абсциссы правого конца хорды (эквивалент определения вогнутости).

Для вогнутой функции:

Þ .

Производная вогнутой функции на промежутке не возрастает.

Def. Точками перегиба графика функции называются точки, разделяющие смежные промежутки с противоположными направлениями выпуклости.

*. Дуги с разнонаправленной выпуклостью, разделяемые точкой перегиба, лежат по разные стороны от касательной в точке перегиба т.к. в точке перегиба дуга графика пересекает касательную.