1˚. Вычислить интеграл .
Рациональная подынтегральная дробь неправильная, поэтому выделим целую часть.
Т.к. , то и, значит
= .
Чтобы взять оставшийся интеграл, разложим дробь в сумму простейших:
(A, B, M, N – неопределенные коэффициенты).
*. Две дроби с равными знаменателями равны тогда и только тогда, когда равны их числители.
= .
* Два многочлена равны тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях совпадают. Из этого критерия и последнего равенства получаем:
Получаем .
2˚. Вычислить интеграл .
Разложим подынтегральную дробь в сумму простейших дробей:
,
и можно найти A, B, C, D, E, F как в предыдущей задаче, но…
и, следовательно: .
Оставшийся интеграл это интеграл четвертого типа и для его взятия можно использовать полученную выше формулу понижения.
.
В данном случае интеграл четвертого типа оказался не очень сложным. В общем случае, именно интегралы четвертого типа вызывают самые большие, хотя и технические, трудности. Избежать этих трудностей позволяет исключительно остроумный метод Остроградского.
|
|