Колебательное звено. Его уравнение: T12p2y + T2py + y = ku

Его уравнение: T₁²p²y + T₂py + y = ku.

Передаточная функция: W(p) = .

Решение уравнения зависит от соотношения постоянных времени T₁ и T₂, которое определяет коэффициент затухания r = . Можно записать W(p) = , где T = T₁.

Если r 1, то знаменатель W(p) имеет два вещественных корня p₁ и p₂ и раскладывается на два сомножителя:

T₂p² + 2rTp + 1 = T²(p - p₁).(p - p₂).

Такое звено можно разложить на два апериодических звена первого порядка, поэтому оно не является элементарным.

При r <1 корни полинома знаменателя W(p ) комплексно сопряженные: p_1,2 = ± j. Переходная характеристика представляет собой выражение, характеризующее затухающий колебательный процесс с затуханием и частотой (рис.39). Такое звено называется колебательным. При r = 0 колебания носят незатухающий характер. Такое звено является частным случаем колебательного звена и называется консервативным.

а)

б)

в)

Рис. 39.Колебательное звено: а) переходная характеристика, б) пружина, в) электрический колебательный контур

При k = 1 передаточная функция звена: W(p) = .

В виду сложности вывода выражений для частотных характеристик рассмотрим их без доказательства, они показаны на рис.40.

Рис. 40.Частотные характеристики колебательного звена

Асимптотическая ЛАЧХ колебательного звена до сопрягающей частоты ₁ = 1/ T₁ совпадает с осью абсцисс, при дальнейшем увеличении частоты идет с наклоном - 40 дб/дек. То есть высокие частоты колебательное звено "заваливает" сильнее, чем апериодическое звено.

Реальная ЛАЧХ при ₁ значительно отличается от асимптотической. Это отличие тем существенней, чем меньше коэффициент демпфирования r. Точную кривую можно построить, воспользовавшись кривыми отклонений, которые приводятся в справочниках. В предельном случае r = 0 получаем консервативное звено, у которого при ₁ амплитуда выходных колебаний стремится к бесконечности (рис.41).

Рис. 41.ЧХ консервативного звена

ЛФЧХ при малых частотах асимтотически стремится к нулю. При увеличении частоты до бесконечности выходной сигнал поворачивается по фазе относительно входного на угол, стремящийся в пределе к - 180^о. ЛФЧХ можно построить с помощью шаблона, но для этого нужен набор шаблонов для разных коэффициентов демпфирования. При уменьшении коэффициента демпфирования АФЧХ приближается к оси абсцисс и в пределе у консервативного звена она вырождается в два луча по оси абсцисс, при этом фаза выходных колебаний скачком меняется от нуля до - 180^о при переходе через сопрягающую частоту (рис.41).

Примерами колебательного звена могут служить пружина, имеющая успокоительное устройство, электрический колебательный контур с активным сопротивлением и т.п. Зная характеристики реального устройства можно определить его параметры как колебательного звена. Передаточный коэффициент k равен установившемуся значению переходной функции.