III. 1.5. Колебательное звено

Звено называют колебательным, если связь между входной x (t) и выходной z (t) переменными определяется дифференциальным уравнением вида

,

причем корни характеристического уравнения, отвечающего этому дифференциальному уравнению

,

должны быть комплексно сопряженными, т.е. должно выполнятся условие . Если это неравенство имеет противоположный знак, то корни будут вещественными и вместо колебательного звена получится последовательное соединение двух инерционных звеньев.

Часто дифференциальное уравнение колебательного звена записывают в ином виде, введя степень затухания (степень успокоения) ξ (при ξ >1 получается два инерционных звена)

.

В операторной форме это уравнение может быть записано в виде

,

и значит, передаточная функция звена будет такова

(III. 1.11)

В качестве примера колебательно звена можно привести пассивный RLC – контур (рис. III. 24).

Рис. III. 24. Пример колебательного звена.

Интересен бывает частный случай колебательного звена, когда степень затухания ξ = 0, такое звено называют консервативным. Его передаточная функция получается при ξ = 0 из (III. 1.11)

(III.1.12)

Переходная характеристика колебательного звена определяется выражением

Представление выражения в виде понадобилось потому, что в справочниках по операционному исчислению дается следующие стандартные выражения для обратного преобразования Лапласа

(III.1.13)

Получить введенные неизвестные коэффициенты α и β через заданные ξ и Т ₀ можно из выражения

,

приравняв коэффициенты при одинаковых степенях p

.

Отсюда

(III.1.14)

Разложим выражение в фигурных скобках для h (t) на простейшие дроби

где А₁, А₂, А₃ – неопределенные пока коэффициенты, подлежащие определению.

Приведем к общему знаменателю правую часть этого выражения, и поскольку знаменатели слева и справа окажутся одинаковыми, приравняем числители и приведем подобные.

.

Затем, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной р, получим

. (III.1.15)

Из третьего равенства (III. 1.15) и (III.1.14) следует, что

Тогда из остальных равенств (III. 1.15) найдем

А₂ = – А₁= – k

А₃ = – 2αА₁= – 2α k.

Отсюда, с учетом найденных значений для А₁, А₂, А₃, получим, имея в виду (III. 1.13), и (III.1.14)

(III.1.16)

Эта переходная характеристика звена изображена на рис. III. 25.

Рис. III. 25. Переходная характеристика колебательного звена.

Прямо из рисунка можно определить параметр k (коэффициент усиления звена) и Т ^* – период колебаний процесса

.

На этом же рисунке нанесены пунктиром экспоненты затухания колебаний . В соответствии с этими экспонентами изменяется (здесь уменьшается) с течением времени амплитуда колебаний переходного процесса.

Для консервативного звена (ξ =0) экспоненты превращаются в горизонтальные линии и, следовательно, затухания колебаний не происходит (рис.III.26). это, впрочем, видно и из (III.1.16), если положить там ξ =0