Определение 5.2

Собственные функции симметричного оператора

Пусть – гильбертово пространство над полем , – линейный оператор, который определен на всем пространстве или на всюду плотном подпространстве Оператор называется симметричным на своей области определения, если

для любых

Приведем примеры симметричных операторов:

1. Рассмотрим оператор в конечномернм пространстве где –матрица размера Он симметричный, если матрица симметричная.

2. Рассмотрим интегральный оператор Фредгольма Он симметричный, если его ядро симметрично, т.е.

3. Рассмотрим дифференциальный оператор

определенный на подпространстве Дважды применяя интегрирование по частям, докажем, что линейный оператор симметричный на своей области определения:

для любых

4. Рассмотрим дифференциальный оператор

определенный на подпространстве Как и в предыдущем примере, докажем его симметричность с помощью интегрирования по частям:

Теорема 5.3 (о спектральном разложении симметричного оператора)

Пусть – гильбертово пространство над полем , – симметричный линейный оператор. Тогда его собственные элементы (вектора, функции), соответствующие различным собственным значениям, ортогональны друг другу.

В частности, собственные вектора симметричного оператора могут образовывать ортонормированный базис в пространстве Например, собственные вектора оператора из примера 3 (см.выше) образуют полную тригонометрическую систему функций в пространстве а собственные вектора из примера 4 образуют полную систему ортогональных полиномов Лежандра.

Почему эта теорема называется теоремой о спектральном разложении симметричного оператора? Причина в следующем. Предположим, что – ортонормированный базис в пространстве и – собственная функция оператора , соответствующая собственному числу т.е. Тогда любую функцию можно разложить в ряд Фурье и действие оператора тоже представляется в виде ряда:

(5.1)

Разложение (5.1) и называется спектральным разложением симметричного оператора. Оно сильно упрощает жизнь при решении операторного уравнения

(5.2)

Пусть – разложение в ряд Фурье правой части уравнения (5.2), которая известна, следовательно коэффициенты тоже известны. Ищем решение уравнения (5.2) в виде ряда с неизвестными коэффициентами Подставляем эти разложения в уравнение (5.2). Благодаря соотношению (5.1) получается следующее равенство:

Приравнивая множители при одноименных выражем отсюда искомые коэффициенты

Таким образом, уравнение (5.2) может быть довольно сложным в зависимости от оператора но решается очень просто, если оператор симметричный и его собственные функции образуют базис в пространстве