Случайные события

Алгебра событий. Различные определения вероятности событий.

ЛЕКЦИЯ 2

Понятие события является первичным, как, например, в геометрии, понятие точки или прямой, а в математическом анализе - понятие множества.

Под случайным событием понимается все то, о чем имеет смысл говорить, что оно либо происходит, либо не происходит при выполнении определенной системы условий, то есть, всякий факт (явление), который в результате опыта может произойти или не произойти. Опытом (или - испытанием) называется выполнение некоторого комплекса условий. Случайное событие, состоящее только из одного исходы, называется элементарным событием. Элементарное событие, в свою очередь, являющееся результатом опыта, называется также исходом опыта.

Рассмотрим несколько примеров.

1. При измерении некоторой величины, результат измерения окажется равным некоторому заданному числу. Это событие.

2. В ящике находятся шары, различающиеся лишь цветом: белые, красные, синие. Из ящика наудачу извлекают один шар. Появление при этом шара, например, белого цвета - событие.

3. Попадание и промах при выстреле является событием.

Событие называется достоверным (обозначается ), если оно обязательно происходит в результате данного испытания, т. е. при выполнении определенной совокупности условий . Например, при бросании игральной кости (всем известного кубика с указанием числа очков на его шести гранях) событие «выпадение на верхней грани по крайней мере одного из шести очков» есть достоверное событие.

Событие называется невозможным (обозначается ), если оно не может произойти в результате данного опыта. В предыдущем примере событие «выпадение на верхней грани игральной кости дробного числа очков» - невозможное событие.

События мы будем обозначать заглавными печатными буквами латинского алфавита:

Пространством элементарных событий будем называть всё множество исходов , взаимно исключающих друг друга в данном испытании (естественно, при выполнении определенной системы условий ), дополненное V и U, как подмножеством самого себя. Заметим, что может быть как конечным, так и бесконечным множеством.

После этого определения, нетрудно сделать вывод, что случайным событием называется любое подмножество пространства элементарных исходом . Ясно почему. Потому что, случайное событие, по определению, - это то событие, которое в результате данного опыта может произойти или не произойти. Ему благоприятствуют только некоторые исходы данного опыта. Значит, случайное событие и определяется как подмножество множества всех исходов опыта.

В рассмотренных примерах события являются случайными, их, как уже отмечалось, обозначают заглавными печатными буквами латинского алфавита: Далее, если рассматривать случай бросания игральной кости, то при одном бросании элементарных исходов всего шесть. Обозначим их через . Пространством элементарных исходов в этом случае является множество

.

Тогда, например, событие - выпадение грани с четным числом очков можно записать в виде: ; событие выпадение грани с нечетным числом очков: .

Геометрически событие будем обозначать (согласно Венну) множеством точек плоскости (см. рис.). Любое случайное событие есть подмножество множества .