2014-02-24
6174
Под множеством понимается любая (конечная или бесконечная) совокупность объектов с некоторой общей характеристикой (или, что то же самое - объектов одинаковой природы). Эти объекты, как вам известно еще со школы, называются элементами множества. Множества с конечным числом различных элементов могут быть описаны путем явного перечисления всех этих элементов: обычно, эти элементы заключаются в фигурные скобки. Например, 
- множество степеней двойки, заключенных между 1 и 10. Как правило, множество обозначается прописной буквой какого - либо алфавита, а его элементы - строчными буквами того же или другого алфавита. Для некоторых особо важных множеств приняты стандартные обозначения, которых стоит придерживаться. Так, буквами
N - множество натуральных чисел
Z - множество целых чисел
Q - множество рациональных чисел
R - множество вещественных (или действительных) чисел
При заданном множестве S включение 
указывает на то, что a - элемент множества S; в противном случае, как вы знаете, пишут 
(или 
).
Множество можно описать, указав свойство, присущее только элементам именно этого множества. Множество всех объектов, обладающих свойством 
, обозначают через 
. Например: 
- множество всех четных чисел; 
- множество натуральных чисел.
Множество, не содержащее элементов, называется пустым и его принято обозначать символом Æ.
Говорят, что S – подмножество множества 
или 
(
содержится в ), если все элементы множества являются также элементами множества , то есть
.
Два множества и совпадают (или равны), если у них одни и те же элементы. Символически это выглядит так:
и 
.
Заметим, что пустое множество Æ (т.е. множество совсем не содержащее элементов) по определению входит в число подмножеств любого множества.
Если , но 
Æ и 
, то - называется собственным подмножеством в . Для выделения подмножества часто используют какое - либо свойство, присущее только элементам из .
Для множеств 
справедливы следующие соотношения:
(значок 
- это значок конъюнкции, т. е. логическое «и»).
Конечное множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое число (номер элемента) от 1 до 
.
Операции над множествами.
Для пояснения некоторых определений и свойств операций над множествами и различных соотношений между ними воспользуемся диаграммами Эйлера – Венна, на которых множества, подлежащие рассмотрению, изображаются в виде совокупности точек на плоскости.
1. Под пересечением (произведение) двух множеств и понимается множество:
|
Например:
2. Под объединением (сумма) двух множеств и понимается множество:
|
(
- значок дизъюнкции, логическое «или»)
Например:
3. Разностью \множеств и называется совокупность тех элементов, из , которые не содержатся в , то есть
|
Порядок множеств при выполнении этой операции существенен.
4. Если 
(здесь 
– основное, универсальное множество) то 
|
будем называть дополнением множества относительно (обозначается также: 
).
Можно еще много говорить о множествах, их свойствах, операциях над ними и т.п. Остановлюсь лишь на некоторых свойствах, указанных операций, после чего перейдем к новому разделу. Итак, для множеств справедливы следующие соотношения:
1. Свойство коммутативности: 
;
2. Свойство дистрибутивности: 
3. Свойство ассоциативности: 
4. 
;
5. 
;
6. 
;
7. 
;
8. 
и т.д.
Попытайтесь самостоятельно доказать эти свойства используя диаграммы.
