Закон распределения вероятностей

На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно перечислить все её возможные значения. В действительности это не так: различные случайные величины иногда могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а соответствующие вероятности этих значений – различные. Поэтому для полной характеристики мало знать значения случайной величины, нужно ещё знать, как часто эти значения встречаются в опыте при его повторении, т.е. нужно ещё указать вероятности их появления.

Рассмотрим случайную величину . Появление каждого их возможных значений свидетельствует о том, что произошло соответственно одно из событий , которые образуют полную группу[5]. Допустим, что вероятности этих событий известны:

,..., ,

причём .

Тогда: соответствие, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения вероятностей случайной величины, или просто – законом распределения случайной величины.

Закон распределения вероятностей данной случайной величины можно задать таблично (ряд распределения), аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности, т.е.

			...
			...

В целях наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки , а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения. При этом, сумма ординат построенного многоугольника равна единице.

Аналитически закон распределения дискретной случайной величины можно записать, например, используя формулу Бернулли для схемы повторения независимых опытов. Так, если обозначить случайную величину, которой является число бракованных деталей в выборке, через , то возможные её значения будут 0, 1, 2,..., . Тогда, очевидно, формула Бернулли будет устанавливать зависимость между значениями и вероятностью () их появления, где

,

что о определяет закон распределения данной случайной величины.

II. Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины

интегральной функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения R вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее , т.е.

.

Геометрически это равенство можно истолковывать так: есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки .

Свойства интегральной функции :

1. Значения интегральной функции принадлежат отрезку , т.е.

.

Доказательство этого свойства вытекает из определения интегральной функции как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

2. - неубывающая функция, т.е. R | .

Действительно, пусть – событие, состоящее в том, что случайная величина примет значение меньшее ; аналогично, – событие, состоящее в том, что случайная величина примет значение меньшее . Другими словами:

Следовательно, если , то . Значит (объяснить - почему?) или, что то же самое:

.

Что и требовалось показать.

3. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси , то справедливо следующее предельное соотношение:

.

Это свойство вполне очевидно. Так, если - достоверное событие, а – невозможное событие, то

4. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , равна приращению интегральной функции на этом интервале:

Рассмотрим следующие события: . Видим, что – т.е. события и несовместны. Тогда

.

Но ,В результате, можем записать: , что и требовалось показать.

Мы будем в основном изучать такие непрерывные случайные величины, функции распределения которых непрерывны.

График функция распределения дискретной случайной величины представляет собой ступенчатую ломаную линию (см. рис.). Величина скачка в точках разрыва равна вероятности значения случайной величины в этой точке. Зная ряд распределения случайной величины, можно построить график её функции распределения:

.

Для непрерывной случайной величины более наглядной является не интегральная, а дифференциальная функция распределения или, так называемая, плотность распределения случайной величины:

плотностью распределения случайной величины называется производная от её интегральной функции распределения , т.е.

.

Свойства дифференциальной функции :

1. R.

Доказательство этого свойства непосредственно следует из определения. Действительно:

(самостоятельно - объяснить, почему. Рассмотреть различные случаи )[6].

2. .

Доказательство: , что и требовалось доказать.

3. .

Доказательство: по четвёртому свойству для интегральной функции распределения случайной величины можем записать: .

Но, по рассмотренному выше второму свойству для справедливо:

.

Тогда

.

4. - условие нормировки.

Доказательство. Это свойство, как впрочем и предыдущие, можно доказать различными способами. В частности:

а) ;

б) ,

что и требовалось показать.

Замечу, что график дифференциальной функции распределения случайной величины лежит выше (или – на) оси (см. первое свойство) – это, во-первых. Во-вторых, учитывая четвёртое свойство, т.е. условие нормировки, можем также сказать, что площадь области, ограниченной кривой плотности распределения, равна единице.

ПРИМЕР. Плотность распределения случайной величины задана формулой .

Требуется:

1. найти величину постоянной ;

2. найти функцию ;

3. определить вероятность попадания случайной величины в интервал .

Решение.

1. величину постоянной найдём из условия нормировки: . В нашем случае, получаем

.

Следовательно, .

2.

3. .