Матричные игры с седловой точкой

Классификация игр

Если для всех участников существует конечное число чистых стратегий , , где и конечны, то такие игры являются конечными.

Игры с двумя участниками и Если то эти игры называются антагонистическими (выигрыш одного влечет проигрыш другого). В этом случае достаточно задать только одну матрицу , поэтому такие игры называются матричными. В общем случае игры с двумя участниками называются биматричными.

Если для каждого участника существует только две стратегии, то такие игры называются диадическими.

Пусть задана для участника матрица выигрышей , которую называют платежной матрицей.

Рассмотрим решение матричных игр данного класса на следующем примере:

Определение 1 (доминирующая стратегия). Если для двух стратегий и выполняется условие , и существует хотя бы одна стратегия такая, что , тогда является доминирующей стратегией по отношению к , а чистая стратегия – доминируемой стратегией.

Если для пары стратегий и , и существует такая, что , тогда – доминирующая по отношению к , а – доминируемая стратегия.

Доминируемые стратегии можно исключить из матрицы , так как оптимального решения среди них не будет.

Выбираем оптимальную стратегию для участника А по принципу:

.

Величина определяет нижнюю цену игры. Выбор стратегии по этому принципу гарантирует, что выигрыш будет не меньше, чем .

Для участника B оптимальная стратегия определяется по принципу: – верхняя цена игры.

Игры, у которых , называются играми с седловой точкой.

Отметим, что всегда . Действительно, пусть и :

, так как – минимальное в строке ; , так как – максимальное в столбце , откуда следует, что .

Может быть несколько седловых точек, тогда цена игры во всех этих точках одинакова: , где – цена игры.

Пусть существуют две седловые точки . Из условий определения седловых точек следует:

.

Все эти нестрогие неравенства выполняются только в случае, когда все 4 числа равны: .