Арифметическое и- мерное пространство

Векторные пространства.

Арифметическим - вектором называют упорядоченный набор из действительных чисел. Обозначается как , где – действительные числа. Вектор – называется нулевым - вектором.

Пусть , λ – некоторое число Определим сумму– векторов и произведение – вектора на число λ следующим образом:

,

.

Множество всех - мерных векторов называется арифметическим вектор­ным пространством и обозначается - . Так в качестве можно рассматривать множество всех векторов на плоскости, – множество всех векторов в пространстве.

Аксиомы векторного пространства.

Для любых векторов и чисел выполняются следующие свойства:

1) (ассоциативность суммы векторов);

2) (наличие нейтрального элемента для суммы векторов);

3) (наличие противоположного вектора);

4) (коммутативность);

5) (дистрибутивность умножения на сумму векторов);

6) (дистрибутивность произведения суммы чисел на вектор);

7) (ассоциативность умножения произведения чисел на вектор);

8) (существование нейтрального элемента при умножении чисел на вектор).

Свойства 1 – 8 называются аксиомами – векторного пространства.

В общем случае, множество для которого выполняются аксиомы 1 – 8 называется линейным векторным пространством.

Скалярным произведением двух – векторов и называется число, равное

.

На основании скалярного произведения вводится длина вектора как квадратный корень из его скалярного квадрата, т. е. если , то

Введенная таким образом длина – вектора обладает всеми свойствами длины векторов плоскости и пространства.

Свойства длины – вектора.

1. , для любого – вектора и числа .

2. , для любых – векторов и (неравенство треугольника).

Угол между векторами и определяется равенством откуда