Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка

Определение: Прямая, целиком принадлежащая некоторой поверхности, называемая ее прямолинейной образующей, и сама поверхность называются линейной.

Замечание: Цилиндры и конусы имеют прямолинейные образующие и вследствие этого являются линейными поверхностями. Через некую их точку проходит единственная прямолинейная образующая (кроме вершины конуса, через нее проходят все прямолинейные образующие). Так как эллипс целиком находится внутри некоторого прямоугольного параллелепипеда, а на каждой прямой имеются точки, не принадлежащие этому параллелепипеду, то эллипс не имеет прямолинейных образующих и не является линейной поверхностью.

Можно показать, что эллиптический параболоид и двухполосный параболоид не имеют прямолинейных образующих и, следовательно, линейными поверхностями не являются.

1⁰. Однополосный гиперболоид.

(1)

Запишем это уравнение в виде:

или (2)

Рассмотрим прямую, заданную общими уравнениями:

(3)

Где, α и β – произвольные числа, одновременно не равные нулю.

Если перемножить почленно эти уравнения и обе части разделить на произведение α β> 0, то получим уравнение (2). Следовательно, если координаты некоторой точки удовлетворяют системе (3), то они удовлетворяют также и уравнению (2), а, значит, и уравнению (1). Поэтому любая точка прямой (3) является также и точкой однополосного гиперболоида.

Если в системе (3) давать всевозможные значении α и β всевозможные значения, то получим семейство прямолинейных образующих однополостного гиперболоида (α²+β²> 0).

Аналогично система уравнений вида:

(4)

Где хотя бы одно из чисел и отлично от нуля, также определяет некоторую прямолинейную образующую однополосного гиперболоида. Давая в системе (4) и. Всевозможные значения, получим другое семейство: прямолинейных образующих однополосного гиперболоида (²+ ² 0).

Теорема (без доказательства):

1) Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две и только две прямолинейные образующие, по одной из каждого семейства (3) и (4) (они задаются соответственно отношениями);

2) Любые две прямолинейные образующие одного семейства скрещиваются;

3) Любые две прямолинейные образующие из разных семейств лежат в одной плоскости (пересекаются или параллельны).

2⁰. Гиперболический параболоид.

(5)

Перепишем это уравнение в следующим виде:

Как и в случае однополостного гиперболоида можно показать, что два семейства прямолинейных образующих поверхности (5) задается семействами линейных уравнений вида:

(6)

и

(7)

Где числа α и β одновременно не равны нулю, а также числа и одновременно не равны нулю.

Прямолинейные образующие поверхности (5) обладают тремя перечисленными выше свойствами образующих однополостного гиперболоида.

К ним добавляется и четвертое свойство: все прямолинейные образующие семейства (6) параллельны плоскости (), а все прямолинейные образующие семейства (7) параллельны плоскости (s w:val="28"/></w:rPr><m:t>;0)</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">).

P1

P2

Пример: Найти прямолинейные образующие гиперболического параболоида, проходящие через точку А(1;1;0)

Решение.

1)