Аксиомы проективного пространства

Обобщим результаты предыдущего параграфа.

Рассмотрим два множества:

1. Множество Ф _n , элементы которого назовём точками.

2. ()-мерное векторное пространство , элементы которого есть векторы.

Установим соответствие между точками и ненулевыми векторами (исключив из элементов пространства ) следующим образом: назовём ненулевой вектор соответствующим точке из Ф _n, если он порождает эту точку.

Будем также считать, что выполняются следующие четыре аксиомы:

Аксиома 1. Каждый ненулевой вектор порождает хотя бы одну точку.

Аксиома 2. Каждая точка порождается хотя бы одним ненулевым вектором.

Аксиома 3. Два неколлинеарных вектора порождают различные точки.

Аксиома 4. Две различные точки порождаются неколлинеарными векторами.

Определение 1. Если точкам множества Ф _n соответствуют ненулевые векторы пространства так, что выполняются аксиомы А1-А4, то:

1. Множество Ф _n называется n-мерным проективным пространством.

2. называется векторным пространством (n+1) измерений, порождающим проективное пространство Ф _n.

3. Аксиомы 1-4 называются аксиомами проективного пространства.

Замечание: Так как неколлинеарные векторы порождают различные точки (Аксиома 3), то проективное пространство n измерений содержит бесконечное множество точек.

Используя аксиомы, можно доказать следующие теоремы.

Теорема 1. Любой ненулевой вектор порождает единственную точку.

Теорема 2. Любая точка порождается бесконечным множеством (коллинеарных) векторов, которые вместе с нулевым вектором образуют одномерное векторное пространство .

Теорема 3. Два коллинеарных вектора порождают одну и ту же точку.

Теорема 4. Два вектора, порождающие одну и ту же точку, коллинеарны.

Определение 2. Если выбрано конкретное множество Ф _n, где , удовлетворяющее аксиомам А1-А4 проективного пространства, то говорят, что построена интерпретация (реализация) данной системы аксиом. Само множество Ф _n называется моделью проективного пространства n-измерений.