Проективная плоскость

Определение 1. Двумерное проективное пространство Ф ₂ называется проективной плоскостью.

В этом случае n=2, Ф _n = Ф ₂, , то есть проективная плоскость порождается ненулевыми векторами трёхмерного векторного пространства.

Рассмотрим две модели проективной плоскости.

Первая модель. Связка прямых в трёхмерном евклидовом пространстве (с центром ) .

Точки проективной плоскости изображаются прямыми связки.

Векторы, порождающие эти точки, изображаются направляющими векторами этих прямых.

Прямые проективной плоскости изображаются пучками прямых с центром (см. первую модель проективной прямой). Каждый из таких пучков определяет некоторую евклидову плоскость . Поэтому можно также сказать, что прямые проективной плоскости порождаются плоскостями связки с центром .

Вторая модель. Расширенная (пополненная) евклидова плоскость.

Каждую прямую евклидовой плоскости дополним несобственной точкой, тем самым превратив эту прямую в расширенную евклидову прямую .

Будем считать также, что параллельные прямые дополняются одной и той же точкой:

Определение 2. Евклидова плоскость , дополненная несобственными точками , называется расширенной евклидовой плоскостью и обозначается . Множество всех несобственных точек называется несобственной прямой .

Между рассмотренными выше моделями проективной плоскости существует связь.

Определение 3. Соответствие между евклидовой плоскостью и связкой прямых с центром (евклидова трёхмерного пространства) называется перспективным, если каждой точке плоскости соответствует проходящая через неё прямая связки с центром .

Если плоскость дополнена до расширенной плоскости , то указанное перспективное соответствие становится однозначным (биективным). Прямым связки с центром , не параллельным плоскости , соответствуют её собственные точки, а прямым , параллельным плоскости , соответствуют её несобственные точки.

Прямой плоскости соответствует проходящая через неё плоскость связки плоскостей с центром . Если – несобственная прямая плоскости , то соответствующая ей плоскость параллельна плоскости . Можно при этом считать, что эти две плоскости и пересекаются по несобственной прямой .