Теоремы Дезарга

Жирар Дезарг (1591-1661) – французский математик, инженер и архитектор, внес существенный вклад в создание основ проективной геометрии.

Определение 1: трехвершинником на проективной плоскости P₂ называется фигура, состоящая из трех точек, и лежащих на одной прямой, и трех прямых, попарно соединяющих эти точки. Указанные точки называются вершинами, а прямые – сторонами трехвершинника.

Трехвершинник АВС Трехсторонник АВС – двойственная фигура

Теорема 1 (прямая теорема Дезарга): если три прямые , , , соединяющие соответствующие вершины трехвершинников и , проходят через одну точку Q, то соответствующие стороны этих трехвершинников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой q.

А₀,В₀,С₀

- краткая запись теоремы Дезарга.

Доказательство 1 способ (методом координат):

1) Примем за координатный репер четверку точек

Пусть в этой проективной системе координат

Так как точки лежат на одной прямой, то определитель, составленный из их координат, равен нулю:

- любое число.

Аналогично получим, что

2) Найдем координаты точки

Найдем координаты точки

3) Точки C₀, B₀, A₀ лежат на одной прямой, так как:

Теорема доказана.

Доказательство 2 способ:

Обозначим векторы, проходящие через точки соответственно: По условию прямая проходит через точку , следовательно, векторы компланарны, и является линейной комбинацией векторов и :

(1)

Аналогично получаем следующие равенства:

(2)

(3)

Вычтем равенство (2) из равенства (1):

или

Обозначим через вектор, равный каждой из этих разностей:

(4)

Так как - линейная комбинация векторов и , то точка С₀, порождаемая этим вектором, лежит на прямой AB:

Тот же вектор - линейная комбинация векторов и , следовательно, точка лежит также и на прямой : .

Таким образом .

Теперь вычтем равенство (3) из равенства (1):

или

(5)

Рассуждая, как и выше, получим:

Далее, вычтем из равенства (2) равенство (3):

или

(6)

Теперь получим, что: .

Вычтем из равенства (5) равенство (6):

(7)

Равенство (7) показывает, что вектор является линейной комбинацией векторов и , поэтому, окончательно, точки лежат на одной прямой q.

Теорема доказана.

Теорема 2 (обратная теореме Дезарга): если три точки пересечения соответствующих сторон трехвершинников АВС и лежат на одной прямой q, то три прямые, проходящие через их соответствующие вершины, пересекаются в одной точке Q.

Справедливость теоремы 2 следует непосредственно по принципу двойственности из доказанной выше теоремы Дезарга.

Замечание 1: теоремы Дезарга верны и в том случае, когда данные трехвершинники лежат в разных плоскостях трехмерного проективного пространства Р_3.

Определение 2: точка Q, в которой пересекаются прямые, соединяющие вершины трехвершинников, называется точкой Дезарга.

Прямая q, на которой пересекаются их соответствующие стороны, называется прямой Дезарга.

Фигура, состоящая из 10 точек и 10 прямых упоминаемых в теоремах Дезарга, называется конфигурацией Дезарга.

Замечание 2: через каждую точку конфигурации Дезарга проходят три прямые и на каждой прямой лежат три точки этой конфигурации. Любая из точек может быть принята за точку Дезарга, а любая из 10 прямых может быть принята за прямую Дезарга.