2014-02-24
5814
Жирар Дезарг (1591-1661) – французский математик, инженер и архитектор, внес существенный вклад в создание основ проективной геометрии.
Определение 1: трехвершинником на проективной плоскости P2 называется фигура, состоящая из трех точек, и лежащих на одной прямой, и трех прямых, попарно соединяющих эти точки. Указанные точки называются вершинами, а прямые – сторонами трехвершинника.
| Трехвершинник АВС Трехсторонник АВС – двойственная фигура |
Теорема 1 (прямая теорема Дезарга): если три прямые 
, 
, 
, соединяющие соответствующие вершины трехвершинников 
и 
, проходят через одну точку Q, то соответствующие стороны этих трехвершинников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой q.
|  
 А0,В0,С0 q.
|
- краткая запись теоремы Дезарга.
Доказательство 1 способ (методом координат):
1) Примем за координатный репер четверку точек 
Пусть в этой проективной системе координат 
Так как точки 
лежат на одной прямой, то определитель, составленный из их координат, равен нулю:
|
|
|
- любое число.
Аналогично получим, что 
2) Найдем координаты точки 
Найдем координаты точки 
Найдем координаты точки 
3) Точки C0, B0, A0 лежат на одной прямой, так как:
Теорема доказана.
Доказательство 2 способ:
Обозначим векторы, проходящие через точки 
соответственно: 
По условию прямая проходит через точку 
, следовательно, векторы 
компланарны, и 
является линейной комбинацией векторов 
и 
:
(1)
Аналогично получаем следующие равенства:
(2)
(3)
Вычтем равенство (2) из равенства (1):
-
или
Обозначим через 
вектор, равный каждой из этих разностей:
(4)
Так как - линейная комбинация векторов и 
, то точка С0, порождаемая этим вектором, лежит на прямой AB: 
Тот же вектор - линейная комбинация векторов и , следовательно, точка 
лежит также и на прямой 
: 
.
Таким образом 
.
Теперь вычтем равенство (3) из равенства (1):
или
(5)
Рассуждая, как и выше, получим:
.
Далее, вычтем из равенства (2) равенство (3):
или
(6)
Теперь получим, что: 
.
Вычтем из равенства (5) равенство (6):
.
(7)
Равенство (7) показывает, что вектор 
является линейной комбинацией векторов 
и 
, поэтому, окончательно, точки 
лежат на одной прямой q.
Теорема доказана.
Теорема 2 (обратная теореме Дезарга): если три точки пересечения соответствующих сторон трехвершинников АВС и 
лежат на одной прямой q, то три прямые, проходящие через их соответствующие вершины, пересекаются в одной точке Q.
Справедливость теоремы 2 следует непосредственно по принципу двойственности из доказанной выше теоремы Дезарга.
Замечание 1: теоремы Дезарга верны и в том случае, когда данные трехвершинники лежат в разных плоскостях трехмерного проективного пространства Р3.
|
|
|
Определение 2: точка Q, в которой пересекаются прямые, соединяющие вершины трехвершинников, называется точкой Дезарга.
Прямая q, на которой пересекаются их соответствующие стороны, называется прямой Дезарга.
Фигура, состоящая из 10 точек и 10 прямых упоминаемых в теоремах Дезарга, называется конфигурацией Дезарга.
Замечание 2: через каждую точку конфигурации Дезарга проходят три прямые и на каждой прямой лежат три точки этой конфигурации. Любая из точек может быть принята за точку Дезарга, а любая из 10 прямых может быть принята за прямую Дезарга.
