2014-02-24
1685
Определение. Проективная система координат 
на расширенной евклидовой прямой 
называется системой однородных координат, если одна из базисных точек (
или 
) несобственная. Обычно полагают 
.
Замечание. Обычная система координат (афинных) на нерасширенной прямой p называется неоднородной. Она определяется двумя точками – началом координат 
и точкой 
, координата которой равна единице.
Если 
, то 
и 
, где
– действительное число.
Таким образом, любая собственная точка 
нерасширенной прямой 
имеет определённую координату 
. В частности, точка 
(начало координат) имеет нулевую координату. Координата несобственной точки неопределенна.
Преимущество однородной системы аффинных координат перед неоднородной состоит в том, что в однородной системе несобственная точка имеет определённые координаты. Как следует из примера 2 из §6 эти координаты равны 
, так как точка 
порождается вектором 
=
.
Координаты собственных точек расширенной евклидовой прямой определяются следующеё теоремой.
Теорема. Пусть на расширенной евклидовой прямой заданы:
1. Неоднородная аффинная система координат 
.
2. Однородная аффинная система координат , где – несобственная точка, 
(совпадает с 0), 
.
3. Произвольная собственная точка , имеющая в системе координат 
координату, а в системе координат – координаты 
).
Тогда: 
.
Доказательство:
Точки 
, и порождаются соответственно векторами 
и 
. Так как согласно замечанию , то имеем: 
.
Отсюда 
или окончательно 
так как точка – собственная.
Теорема доказана.
Замечание. Несобственная точка 
имеет координаты 
, то есть 
.
