Определение. Проективная система координат на расширенной евклидовой прямой называется системой однородных координат, если одна из базисных точек (или ) несобственная. Обычно полагают .
Замечание. Обычная система координат (афинных) на нерасширенной прямой p называется неоднородной. Она определяется двумя точками – началом координат и точкой , координата которой равна единице.
Если , то и , где– действительное число.
Таким образом, любая собственная точка нерасширенной прямой имеет определённую координату . В частности, точка (начало координат) имеет нулевую координату. Координата несобственной точки неопределенна.
Преимущество однородной системы аффинных координат перед неоднородной состоит в том, что в однородной системе несобственная точка имеет определённые координаты. Как следует из примера 2 из §6 эти координаты равны , так как точка порождается вектором =.
Координаты собственных точек расширенной евклидовой прямой определяются следующеё теоремой.
Теорема. Пусть на расширенной евклидовой прямой заданы:
|
|
1. Неоднородная аффинная система координат .
2. Однородная аффинная система координат , где – несобственная точка, (совпадает с 0), .
3. Произвольная собственная точка , имеющая в системе координат координату, а в системе координат – координаты ).
Тогда: .
Доказательство:
Точки , и порождаются соответственно векторами и . Так как согласно замечанию , то имеем: .
Отсюда или окончательно так как точка – собственная.
Теорема доказана.
Замечание. Несобственная точка имеет координаты , то есть .