Проективные координаты на проективной плоскости

Определение 1. Проективной системой координат или проективным репером на проективной плоскости Ф ₂ называется упорядоченная совокупность четырёх точек , никакие три из которых не лежат на одной прямой (точки общего положения). Точки называются базисными, точка – единичной точкой. Прямые – координатные прямые.

Обозначение: .

Определение 2. Проективными координатами точки M проективной плоскости Ф ₂ в системе координат называются координаты порождающего её вектора в базисе (), выбранном так, что:

Замечание 1. Так как , то любая точка проективной плоскости имеет три проективные координаты, из которых хотя бы одна не равна нулю. Эти координаты задаются с точностью до числового множителя.

Обозначение: .

Пример 1. поэтому:

Замечание 2. Формула перехода от одной проективной системы координат к другой имеют вид:

(*)

где – произвольный числовой множитель, а

(*)

Определение 3. Проективная система координат на расширенной евклидовой плоскости называется системой однородных координат, если две из её базисных точек являются несобственными.

Обычно полагают и .

Пусть однороднаяи неоднородная системы координат выбраны специальным образом (см. рисунок) на проективной плоскости Ф ₂.

Тогда можно доказать теорему.

Теорема 1. Если:

1. Однородная и неоднородная () аффинные системы координат на расширенной евклидовой плоскости согласована указанным на рисунке способом.

2. , где , то

Замечание 3. Для собственных точек , для несобственных точек ; например, или .

Теорема 2. Для того, чтобы три точки , , проективной плоскости Ф ₂ лежали на одной проективной прямой Ф ₁, где – проективная система координат, необходимо и достаточно, чтобы:

(1)

Доказательство:

Пусть точки порождаются соответственно векторами . Для того, чтобы эти точки лежали на одной проективной прямой Ф ₁, необходимо и достаточно, чтобы векторы принадлежали векторному пространству , порождающему проективную прямую Ф ₁.

Но тогда эти векторы линейно зависимы, следовательно, определитель (1) равен нулю, так как имеют линейно зависимые строки.

Теорема 3. прямая P₁, проходящая через две различные точки А(а₁:а₂:а₃)_R и В(в₁:в₂:в₃)_R проективной плоскости Р₂ задается в системе проективных координат R=(Е₁,Е₂,Е₃,Е) уравнением:

(2)

или

(3)

Доказательство:

Согласно теореме 2 точка М(х₁:х₂:х₃)_R принадлежит прямой АВ в том и только в том случае, если имеет место равенство (2) или равносильное ему равенство (3).

Следствие 1: координатные прямые Е₁Е₂, Е₁Е₃ и Е₂Е₃ имеют соответственно уравнения: х₃=0, х₂=0, х₁=0.

Например, прямая Е₁Е₂:

.

Следствие 2: уравнение любой проективной прямой на проективной плоскости Р₂ имеет вид:

(4)

где коэффициенты (числа) все равны нулю и определены с точностью до числового множителя.

Доказательство:

Положив в равенстве (3)

получаем уравнение (4). Так как точки A и B различны, то порождающие их векторы и неколлинеарны, следовательно, их координаты не пропорциональны, и хотя бы один из определителей второго порядка отличен от нуля. Так как координаты точек A и B определены с точностью до общего числового множителя, то и числа также определены с точностью до общего числового множителя.

Можно доказать, что и обратно, всякое уравнение вида (4) задает на проективной плоскости некоторую проективную прямую.

Пусть , тогда А () и В () – точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (4), подставив их в (2), получим уравнение (4).

Определение 4: коэффициенты в уравнении (4) данной прямой называются проективными координатами этой прямой.

Обозначение:

Пример 2. найдем координаты координатных прямых данного проективного репера R=(E₁,E₂,E₃,E).

Согласно следствию 1 из теоремы 3 координатная прямая имеет уравнение х₃=0 или Тогда

Аналогично получаем координаты двух других координатных прямых: и