Определение 1. Проективной системой координат или проективным репером на проективной плоскости Ф 2 называется упорядоченная совокупность четырёх точек , никакие три из которых не лежат на одной прямой (точки общего положения). Точки называются базисными, точка – единичной точкой. Прямые – координатные прямые.
Обозначение: .
Определение 2. Проективными координатами точки M проективной плоскости Ф 2 в системе координат называются координаты порождающего её вектора в базисе (), выбранном так, что:
Замечание 1. Так как , то любая точка проективной плоскости имеет три проективные координаты, из которых хотя бы одна не равна нулю. Эти координаты задаются с точностью до числового множителя.
Обозначение: .
Пример 1. поэтому:
Замечание 2. Формула перехода от одной проективной системы координат к другой имеют вид:
(*) |
где – произвольный числовой множитель, а
(*) |
Определение 3. Проективная система координат на расширенной евклидовой плоскости называется системой однородных координат, если две из её базисных точек являются несобственными.
|
|
Обычно полагают и .
Пусть однороднаяи неоднородная системы координат выбраны специальным образом (см. рисунок) на проективной плоскости Ф 2.
Тогда можно доказать теорему.
Теорема 1. Если:
1. Однородная и неоднородная () аффинные системы координат на расширенной евклидовой плоскости согласована указанным на рисунке способом.
2. , где , то
Замечание 3. Для собственных точек , для несобственных точек ; например, или .
Теорема 2. Для того, чтобы три точки , , проективной плоскости Ф 2 лежали на одной проективной прямой Ф 1, где – проективная система координат, необходимо и достаточно, чтобы:
(1) |
Доказательство:
Пусть точки порождаются соответственно векторами . Для того, чтобы эти точки лежали на одной проективной прямой Ф 1, необходимо и достаточно, чтобы векторы принадлежали векторному пространству , порождающему проективную прямую Ф 1.
Но тогда эти векторы линейно зависимы, следовательно, определитель (1) равен нулю, так как имеют линейно зависимые строки.
Теорема 3. прямая P1, проходящая через две различные точки А(а1:а2:а3)R и В(в1:в2:в3)R проективной плоскости Р2 задается в системе проективных координат R=(Е1,Е2,Е3,Е) уравнением:
(2)
или
(3)
Доказательство:
Согласно теореме 2 точка М(х1:х2:х3)R принадлежит прямой АВ в том и только в том случае, если имеет место равенство (2) или равносильное ему равенство (3).
Следствие 1: координатные прямые Е1Е2, Е1Е3 и Е2Е3 имеют соответственно уравнения: х3=0, х2=0, х1=0.
Например, прямая Е1Е2:
.
Следствие 2: уравнение любой проективной прямой на проективной плоскости Р2 имеет вид:
|
|
(4) |
где коэффициенты (числа) все равны нулю и определены с точностью до числового множителя.
Доказательство:
Положив в равенстве (3)
получаем уравнение (4). Так как точки A и B различны, то порождающие их векторы и неколлинеарны, следовательно, их координаты не пропорциональны, и хотя бы один из определителей второго порядка отличен от нуля. Так как координаты точек A и B определены с точностью до общего числового множителя, то и числа также определены с точностью до общего числового множителя.
Можно доказать, что и обратно, всякое уравнение вида (4) задает на проективной плоскости некоторую проективную прямую.
Пусть , тогда А () и В () – точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (4), подставив их в (2), получим уравнение (4).
Определение 4: коэффициенты в уравнении (4) данной прямой называются проективными координатами этой прямой.
Обозначение:
Пример 2. найдем координаты координатных прямых данного проективного репера R=(E1,E2,E3,E).
Согласно следствию 1 из теоремы 3 координатная прямая имеет уравнение х3=0 или Тогда
Аналогично получаем координаты двух других координатных прямых: и