Низкочастотные гауссовские операторы

Одномерный гауссовский непрерывный ФНЧ имеет колоколообразную характеристику:

. (3)

Отсюда сразу следует непрерывная двумерная форма, требуемая для обработки изображений:

, (4)

где и - расстояния до средней точки колоколообразной кривой; – дисперсия (носит название среднеквадратичное отклонение или СКО).

Оператор свертки, построенный на этом базисе, имеет импульсный отклик с минимальным произведением времени нарастания и полосы частот.

Необходимо различать эти гауссовские пространственные филь­тры низких частот от понятий, связанных с гауссовским распределе­нием спектральных коэффициентов, например:

, (5)

где произведена нормировка к пространственной частоте Найквиста:

.

В дискретной форме равенство (5) имеет вид:

, (6)

где – порядковые индексы; – граничная величина индекса.

При использовании такой частотной характеристики можно те­перь создать и локальные операторы размеров , например и т.д., с учетом имеющихся условий симметричности коэффициентов .

На основе равенства (7) из темы "Изменение контраста":

могут быть сформированы типовые дискретные операторы со сглаживающими свойствами.

Определенной стандартной формой служит гауссовский сглаживающий оператор, который обеспечивает несложную реализацию. Маска реализует дисперсию колокола :

. (7)

Другой оператор с меньшим размером окна для :

. (8)

Дискретный гауссовский фильтр имеет «краевую» ошибку, связанную с конечностью размера окна, хотя функция Гаусса простирается до бесконечности. К примеру, ошибка достигается приблизительно через три шага. С увеличением размеров окна (например, ) эта ошибка будет меньше. Такую меру необходимо применять, прежде всего, для больших значений дисперсии. Так, фильтр, имеющий , может быть реализован с размером окна :

. (9)