2014-02-24
758
Модуль градиента в аналоговой форме может быть представлен следующим соотношением:
. (16)
Аналогично для направления вектора градиента:
. (17)
В дискретном изображении разности рассчитываются на основе следующей схемы, которая может быть распространена и на большие размеры окна (маски):
| m-1 n-1 | m-1 n | m-1 n+1 |
| m n-1 | m n | m n+1 |
| m+1 n-1 | m+1 n | m+1 n+1 |
Очень простым градиентным оператором является оператор Робертса:
(18)
или 
,
где 
, 
;
следовательно:
.
Маски компонентов оператора:
.
Градиентное изображение сдвинуто на половину интервала дискретизации в горизонтальном и вертикальном направлениях по отношению к исходному, т. Е. его координаты 
; 
. Так как градиент Робертса образует разности соседних точек в обоих диагональных направлениях, он весьма чувствителен к шумам в изображении. Оператор Робертса находит применение в алгоритмах отслеживания контуров.
Дифференциальный оператор используется и в следующей простейшей форме. Из определения первой частной производной непрерывной двумерной функции 
при 
, 
можно записать:
. (19)
В дискретном случае необходимо подставить 
, а 
и 
принять равными 1. Тогда получим следующие разностные приближения:
– разность в направлении 
;
– разность в направлении 
.
Следовательно, в соответствии с (16) получается градиентное поле:
. (20)
Маски градиентов этого оператора есть:
.
Симметричный вариант этого градиента выглядит следующим образом:
– разность в направлении ;
– разность в направлении .
Маски компонентов этого теперь уже симметричного вокруг элемента 
оператора теперь будут:
.
Эта симметрия играет важную роль, так как преобразования производятся симметрично относительно рассматриваемого элемента изображения.
В соответствии с принципом направленно-зависимых разностей разработано большое количество мощных направленно-зависимых детекторов и обострителей контуров. Размер окна обычно выбирается 
, реже – 
. Приближение к градиенту вычисляется через разность, пропорциональную модулю, или же через сумму разностей модулей. Такие операторы относительно устойчивы к шуму.
Распространенный взвешенный симметричный градиентный оператор с размером окна , известный с 1970 г., - оператор Превитта имеет одновременно и сглаживающее и дифференцирующее действие:
. (21)
Как видно, сглаживание осуществляется в направлении , а формирование разностей – в направлении .
. (22)
Здесь сглаживание идет в направлении , а формирование разностей – в направлении .
Модуль градиента:
. (23)
Благодаря учету большого количества соседних точек этот градиент менее чувствителен к шуму, чем градиент Робертса.
