III Решение задач

Задача 1. Для бруса, изображенного на рис. 1, а, построить эпюры внутренних сил, напряжений и перемещений по длине бруса.

Рис. 1

Решение.

1. Выбираем начало отсчета в неподвижном сечении (точка О); положи­тельное направление оси z направим по оси бруса, т.е. вниз.

2. Определим реакцию, составив одно уравнение равновесия:

.

3. Построим эпюру внутренних сил N. Для этого на расстоянии z ₁ рассечем брус и рассмотрим равновесие нижней части (рис. 1, б):

,

что справедливо для . В этих пределах в брусе возни­кает растяжение, так как N ₁ направлена от сечения.

Теперь выберем второй участок бруса и рассмотрим равновесие верхней части (рис. 1, в):

.

Поскольку N ₂ направлена к сечению, то брус под дейст­вием сил N ₀ и N ₂ сжимается.

После того как определили все внутренние нормальные силы, переходим к построению эпюры нормальных сил (рис. 1, г). Вправо будем отклады­вать положительные значения, а влево - отрицательные значения нормаль­ных сил.

Анализируя построенную эпюру N, заметим, что внутренние силы не за­висят от размеров поперечного сечения, а зависят только от приложенных внешних сил. Поэтому длину бруса разбивают на такое число участков, сколько сил на его длине приложено. В данном случае было два участка.

При проверке правильности построения эпюры N следует обратить внимание на то, что на эпюре внутренних сил в тех сечениях, где были приложены внешние силы, должны быть скачки, равные приложенной внешней силе.

4. Построим эпюру напряжений σ. Брус следует разбить на участки. По­скольку σ = N/S, то участков на эпюре будет столько, сколько раз меняется
поперечное сечение; при этом следует обращать внимание, чтобы при посто­янной площади поперечного сечения нормальная сила на эпюре N остава­лась неизменной. С учетом этого на эпюре σ будут три различных значения
σ (рис. 1, д):

.

5. Строим эпюру перемещений U. Начинать следует от неподвижного се­чения, т.е. от сечения О. Выразим перемещение сечения, находящегося от
неподвижного на расстоянии z ₂:

.

Если , то для z ₂ = l перемещение

Для

,

или

;

при z = 2 l

.

Для

;

при z₁=3 l

.

Откладываем вычисленные перемещения на эпюре U (рис. 1, е).

Определить диаметры поперечных сечений бруса (материал - незакален­ная сталь 30), нагруженного по схеме, приведенной на рис. 1, а. Сила F=1000 Н.

Сначала необходимо построить эпюры N и σ. Определяем коэффициент запаса. Поскольку материал пластичный, принимаем коэффициент запаса n_T = 1,5.

Вычисляем допускаемое напряжение. Из табл. 2.1 для стали 30 выписы­ваем σ_тр = σ_mc = 330 Н / мм ². После этого можно определить допускаемое напряжение при растяжении и сжатии:

Н / мм ².

Проанализировав эпюру напряжений (рис. 1, д), установили, что
на двух участках возникает одинаковое напряжение σ_наи6 = F/S. Поскольку
данный материал работает одинаково на растяжение и сжатие, то можно для
любого из этих двух участков записать условие σ_наи6 ≤ [ σ ]:

.

Определяем диаметры круглого бруса из полученного уравнения: S = 4,55 мм ². Зная, что S = πr ², определяем r ₁ = 1,2 мм; d ₁ = 2,4 мм. На участке, где площадь S ₂ = 2 S, диаметр d ₂ будет равен 3,35 мм.

Задача 2. Построить эпюру продольных сил для стержня, нагру­женного продольными силами (рис. 2.1, а).

Решение. Стержень имеет два участка: I и II. Выберем начало координат в левом крайнем сечении.

Рис. 2.1. Определение продольных сил на участках I и II

Найдем закономерности изменения продольной силы на каждом участке. Для этого используем метод сечений — в произвольных местах на участках I и II проведем сечения 1—1 и 2—2 и каждый раз будем отбрасывать правую часть стержня, содержащую закрепление, для того чтобы предварительно не определять опорную реакцию. Оставшиеся левые части уравновесим положительными (растягивающими) продоль­ными силами N ₁ и N ₂ (рис. 2.1, б, а).

Заметим, что во избежание ошибки следует неизвестное внутреннее усилие принимать всегда положительным, так как знак усилия, получа­емый из решения, позволит установить:

правилен ли был выбор направления силы N;

какой вид деформации при этом возникает — растяжение или сжа­тие.

Для оставшихся (левых) частей запишем уравнения равновесия:

Рис. 2.2. По­строение эпюры продольных сил

I. :

II. :

.

Из полученного решения видно, что в пределах каждого участка продольная сила остается постоянной, т. е. не зависит от продольной координаты z, и на участке II вместо предполагаемой растягивающей силы продольная сила будет сжимающей (рис. 2.1, в она показана пунктиром).

По полученным выражениям для N ₁ и N ₂ построим эпюру продоль­ных сил, изображенную на рис. 2.2.

Задача 3. Построить эпюру (рис. 3).

Рис. 3

справа

.

Задача 4. Построить эпюру (рис. 4).

Рис. 4

Задача 5. Построить эпюру (рис. 5).

Рис. 5

.

Здесь

«Идем» справа:

«Идем» слева:

Задача 6. Для стального бруса (рис. 6) постройте эпюру продольных сил, эпюру напряжений, проверьте прочность, если: =50 кН, =10 см ², = 160 МПа.

Решение. По эпюре напряжений выбираем максимальное на­пряжение и записываем условие прочности:

;

;

Рис. 6

Условие прочности выполняется; прочность бруса обеспечена.

Задача 7. Построим эпюру N для стержня, изображенного на рис. 7, а. Установим с помощью метода сечений законы изменения N в пределах каждого из двух характерных участков стержня. Для этого проведем сечения в пределах этих участков, отбросим мысленно одну из частей стержня и заменим ее влияние про­дольной силой N. Составим уравнение равновесия Σ Х = 0 остав­шейся части.

Участок х ≥1,2 м кH.

Истинное направление N показано пунктиром (рис. 7, б). В пределах рассматриваемого участка продольная сила является сжимающей и имеет постоянное значение.

Участок 0≤ х ≤< 1,2 м

.

Рис. 7

Определим величину N в начале и в конце участка (рис. 7, в):

х = 0, N =-18 кН (сжатие);

х =1,2 м, N = 6 кН (растяжение).

В пределах данного участка продольная сила изменяется по линейному закону. Опорная реакция в месте закрепления стерж­ня равна значению N в этом сечении: R = 18 кН.

Отложив в соответствующем масштабе ординаты N на пря­мой, параллельной оси стержня, построим эпюру N (рис. 7, г). Отметим ее особенность — в сечении, где приложена сосредото­ченная сила P ₁ = 18 кН, на эпюре N имеется разрыв (скачок), равный по величине этой силе.