Сплайны

Сплайн - кусочный полином степени K с непрерывной производной степени K-1 в точках соединения сегментов.

Далее нас будут интересовать кубические сплайны.

Понятие сплайна пришло из машиностроения, где сплайном называли гибкую линейку, закрепив которую в нужных местах, добивались плавной кривой, которую затем чертили по этой линейке (см. Рис. 4) Форма такой линейки, если ее рассматривать как функцию y(x), будет удовлетворять уравнению Эйлера-Бернулли: ,где M(x) - момент изгиба вдоль рейки, E - модуль Юнга. зависящий от свойств материала рейки, I - момент инерции, определяемый формой кривой. Если мы фиксируем некоторые точки подпорками, то момент изгиба на каждом отрезке меняется по линейному закону: M(x) = A*x + B, подставляя в исходное уравнение получаем: , дважды интегрируя получаем уравнение кривой на данном

Рис. 4. Сплайн.

отрезке: ; таким образом форма физического сплайна описывается кусочным кубическим полиномом. Теперь рассмотрим задачу построения системы таких кубических полиномов для всего отрезка

1) Для N отрезков имеем 4N коэффициентов: для ;

2) Условия (i Î ) дают 2N уравнений;

3) Требование в точках (i Î ) дает N-1 уравнений;

4) Требование в точках (i Î ) дает N-1 уравнений.

Итого имеем 4N-2 уравнения; для того чтобы система была определенной, необходимы еще 2 уравнения; их можно вывести, например, из заданных значений производных на границах или или из условия периодичности. При корректно заданных условиях линейная относительно система имеет единственное решение. Подробнее смотри в [Роджерс, Адамс, 2001].