double arrow

Лекция №5. Рис.7. Распределение температуры факела в топочном пространстве

Рис.7. Распределение температуры факела в топочном пространстве

Рис.6. Распределение температуры метала трубы в пространстве

Как видно из рисунка, температура металла трубы неодинакова в разных точках показанного участка. Причём температура изменяется не только вдоль оси течения обогреваемого теплоносителя z1, но и от внешней поверхности трубы к внутренней (ось z2). Чем больше рассматриваемый участок трубы, тем больше отличается температура металла в разных её точках.

Другой пример – температура факела в разных точках топочного пространства (рис.7).

Модели подобных объектов принято называть распределёнными по параметрам. В их описание вводятся геометрические координаты Z = [z1, z2, z3]. В векторной записи такие модели могут быть представлены следующим образом:

.

Если можно пренебречь пространственной неравномерностью значений координат объекта, то есть считать градиент , то соответствующую модель принято относить к классу моделей со сосредоточенными параметрами. Для них масса и энергия как бы сосредоточены в одной точке. Примером такого физического объекта может служить обогреваемый бак с жидкостью, которая тщательно перемешивается. Для описания процессов в таких объектах известные законы сохранения обычно записываются в форме уравнений баланса (массы, энергии, движения).

Для описания свойств процессов в объектах с распределёнными параметрами законы сохранения должны быть выражены в строгом виде.

1. Закон сохранения массы:

.

2. Закон сохранения энергии:

.

3. Закон сохранения количества движения:

.

Здесь ρ – плотность среды;

скорость центра массы элементарного объёма;

е – полная энергия на единицу массы;

Je – полный поток энергии;

Р – тензор давлений на элементарный объём.

.

Эти уравнения законов сохранения дополняет ещё одно уравнение, выражающее второй закон термодинамики:

где S – энтропия;

Js – поток энтропии;

σ – скорость генерирования энтропии внутренними источниками.

Во многих теплотехнических задачах это уравнение может быть сведено к известному уравнению теплопроводности:

,

где θ – температура среды в заданной точке объёма;

a – коэффициент температуропроводности среды.

.

Однако учитывать трёхмерность геометрического пространства далеко не всегда необходимо. Так, например, модель змеевика с нагреваемым рабочим телом (водой, паром) и с тонкостенной оболочкой (трубой) обычно исходит из одномерности объекта, то есть учитывается только длина змеевика. В то же время процесс передачи тепла в ограниченный объём рабочего тела через толстую стенку может быть описан одномерной моделью, учитывающей только толщину оболочки.

1.9. Непрерывные и дискретные модели

Все рассмотренные ранее технологические процессы относятся к классу непрерывных. Поэтому и модели этих процессов должны описывать состояние объектов относительно времени как непрерывного аргумента. Такие модели соответственно называются непрерывными.

.

Однако переход от математической модели к имитационной посредством реализации на вычислительной технике подразумевает квантование времени с шагом Δt. Поэтому вместо непрерывной шкалы времени t приходиться рассматривать дискретную , в которой параметр i (i = 0, 1, 2 …) приобретает смысл относительного времени. Таким образом, непрерывная модель заменяется дискретной:

.

В качестве примера рассмотрим оператор φ, относящийся к классу обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и используемый в качестве линейной стационарной сосредоточенной динамической модели объекта:

в которой и – производные j -го порядка от переменных. Из теории дискретных систем известно, что такому дифференциальному уравнению можно поставить в соответствие так называемое разностное уравнение вида

в котором и представлены в форме правых разностей:

При правильном переходе от коэффициентов aj и bj к коэффициентам αj и βj непрерывная и дискретная модели будут давать решения, полностью совпадающие в моменты времени . Дискретная модель не может дать прогноз поведения объекта на интервалах между дискретными отсчётами времени, когда

.

Также важно помнить, что при изменении шага Δt должны быть пересчитаны и коэффициенты разностного уравнения.

2. Моделирование сложных систем

2.1. Требования к моделям и их назначение

Наиболее общие требования, предъявляемые к модели могут быть сформулированы следующим образом: модель должна быть простой и понятной пользователю, целенаправленной, надежной в смысле гарантии от абсурдных ответов, удобной в управлении и общении с ней, полной с точки зрения решения главных задач, адаптивной, позволяющей легко переходить к другим модификациям или обновлять данные, допускающей постепенные изменения, т.е. являясь сначала простой она может во взаимодействии с пользователем становиться все сложнее.

Идея представления системы при помощи модели носит столь общий характер, что дать полную классификацию всех функций модели затруднительно. Рассмотрим пять наиболее распространенных случаев.

1. Модели помогают упорядочить нечеткие или противоречивые понятия. Например, представив работы по проектированию сложных систем в виде сетевой модели, можно решить, какие шаги и в какой последовательности необходимо предпринимать. Модель позволяет выяснить взаимозависимости, временные соотношения, требуемые ресурсы и т.д.

2. Все естественные языки оказываются неточными, когда дело доходит до сложных понятий и описаний. Например, проще бывает нарисовать нужный маршрут, чем объяснить его на словах. Преимущество модели перед словесными описаниями заключается в сжатости и точности представления заданной ситуации.

3. Модели часто применяются как средство обучения лиц, которые должны уметь справляться со всевозможными случайностями до возникновения критической ситуации (например, модели космических кораблей, тренажёры операторов систем управления, тренажеры для обучения водителей и т.п.).

4. Модели позволяют производить контролируемые эксперименты в ситуациях, где экспериментирование на реальных объектах экономически нецелесообразно или практически невозможно (примеры из предыдущего пункта).

5. Одним из важных применений моделей является прогнозирование поведения моделируемых объектов. Например, сразу строить только что спроектированный ультразвуковой реактивный самолет экономически нецелесообразно, а для предсказания его летных характеристик используют средства моделирования (например, испытание конструкций в аэродинамической трубе).

Таким образом, модель может служить для достижения двух основных целей:

1) описательной, если модель служит для объяснения и лучшего понимания объекта;

2) предписывающей, когда модель позволяет предсказать или воспроизвести характеристики объекта, определяющие его поведение.

Модель предписывающего типа может быть описательной, но не наоборот. В социальных науках модели объясняют существующие системы. А в технике модели служат в качестве вспомогательных средств для создания новых или более совершенных систем.

2.2. Методологические основы формализации функционирования сложных систем

Формализации любого реального процесса предшествует изучение структуры составляющих его явлений. В результате этого появляется содержательное описание процесса.

Содержательное описание – это первая попытка чётко изложить закономерности, характерные для исследуемого процесса и поставить задачу. Оно дает сведения о физической природе и количественных характеристиках элементарных явлений процесса, о характере взаимодействия между ними, о месте каждого явления в общем процессе. Содержательное описание может быть составлено только после детального изучения процесса.

Кроме описания самого процесса в содержательное описание включают цели моделирования исследуемого процесса, которые должны содержать перечень искомых величин и их требуемую точность. Эта часть формализации может быть выполнена без участия математиков или соответствующих специалистов по моделированию.

На этапе содержательного описания устанавливается:

§ какие компоненты системы будут включены в модель;

§ какие элементы будут исключены или будут считаться частью окружающей среды;

§ какие структурные взаимосвязи будут установлены между ними.

Сама постановка задачи должна содержать четкое изложение идеи предполагаемого исследования, перечень зависимостей, подлежащих оценке по результатам моделирования и должна установить те факторы, которые необходимо учесть при построении модели. Сюда же включаются данные, необходимые для исследования. Это численные значения известных характеристик и параметров процесса (в виде таблиц или графиков), а также значения начальных условий.

Содержательное описание служит для построения формализованной схемы и модели процесса.

Формализованная схема процесса разрабатывается в том случае, когда из-за сложности процесса или трудностей формализации некоторых его элементов непосредственный переход от содержательного описания к модели невозможен или нецелесообразен.

Формализованная схема разрабатывается совместно со специалистами прикладной области техники и моделирования (или математиков). Хотя форма описания может остаться словесной, однако она должна являться строго формальным описанием процесса.

Для построения формализованной схемы необходимо выбрать характеристики процесса; установить систему параметров, определяющих процесс; определить все зависимости между характеристиками и параметрами с учетом факторов, которые принимаются во внимание при формализации.

При математическом моделировании на этапе создания формализованной схемы должна быть дана четкая математическая формулировка задачи исследования.

При разработке модели необходимо:

§ выявить факторы, оказывающие влияние на ход исследуемого процесса или его результаты;

§ выбрать те из них, которые поддаются формализованному представлению (т.е. могут быть выражены количественно);

§ объединить по возможности выявленные факторы по общим признакам, сократив их перечень;

§ установить количественные соотношения между ними.

После того как выявлены существенные факторы, следующий шаг состоит в переводе их на язык математических понятий и определении соотношений между этими величинами. Как правило, это самая трудная стадия процесса моделирования.

В модели необходимо учесть как можно большее количество факторов реального процесса. Но при этом, естественно, модель становится более сложной, что затрудняет ее исследование и получение содержательных результатов.

С другой стороны, желание получить результат возможно более простым путем приводит к необходимости упрощения модели, снижая таким образом ее содержательность. Необходимо добиться разумного компромисса, обеспечив возможность получения нетривиальных результатов и не упуская существа реального процесса.

На этом этапе прилагается уточненная совокупность всех исходных данных, известных параметров и начальных условий.

Содержательное описание может не дать необходимых сведений для построения формализованной схемы. В этом случае необходимы дополнительные эксперименты и наблюдения за исследуемым процессом.

Дальнейшее преобразование формализованной схемы в модель выполняется без поступления дополнительной информации.

Для преобразования формализованной схемы в математическую модель необходимо записать в аналитической форме все соотношения, которые еще не были записаны, выразить условия в виде систем неравенств, а также придать аналитическую форму другим сведениям, содержащимся в формализованной схеме (например, числовым характеристикам, представленным в виде таблиц и графиков).

Обычно на ЭВМ числовой материал используют в виде аппроксимирующих выражений, удобных для вычислений. Для значений случайных величин выбирают плотность типовых законов распределений.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: