Ряды с комплексными членами. Полюс. Вычеты

Опр Ряд по степеням называется сходящимся на множестве , если сходятся ряды . В противном случае ряд называется расходящимся.

ТЕОРЕМА 10.5 (свойства функциональных рядов)

1) Если существует или , то степенной ряд равномерно сходится внутри круга и расходится в каждой точке вне его замыкания ; кругназывается кругом сходимости, а число - радиусом сходимости степенного ряда. Сумма степенного ряда является аналитической функцией в круге сходимости.

2) Пусть функция голоморфна на окружности . Положим

Пусть существуют пределы . Тогда ряд по степеням (ряд

Лорана функции ) сходится к равномерно внутри кольца

, и имеет на каждой компоненте его границы особые точки.

Пр 1 Целая функция разлагается в ряд Маклорена во всей комплексной плоскости.

Пр 2 .

_____

Опр Особая точка аналитической функции называется изолированной особой точкой однозначного характера (ИОТОХ), если аналитична в некоторой проколотой окрестности .

Опр ИОТОХ называется полюсом функции, если . Полюс называется полюсом порядка , если существует конечный и не равный нулю предел . Полюс первого порядка называется простым.

Пр Функция , имеет полюс порядка в точке .

ЗАМЕЧАНИЕ Пусть функция имеет ИОТОХ в . является полюсом тогда и только тогда, когда главная часть ряда Лорана имеет конечное число членов.

_____

Опр Пусть - ИОТОХ функции . Вычетом этой функции в точке называется число , где - замкнутая спрямляемая жорданова кривая, охватывающая , причем ее внутренность должна оставаться слева при обходе точки по контуру .

ЗАМЕЧАНИЕ В силу теоремы Коши 10.4.2вычет не зависит от выбора.

Опр Пусть КЗФнепрерывна на . Если существует конечный предел

, то он называется интегралом в смысле главного значении.

ТЕОРЕМА 10.6 (свойства вычетов)

1) Если , то . Если , то .

2) (основная теорема о вычетах) Если аналитическая в односвязной области за исключением ИОТОХов , - спрямляемая замкнутая жорданова кривая в , охватывающая , то .

3) Пусть у рациональной функции и не имеет нулей на прямой . Тогда

- нули , лежащие в соответствующей полуплоскости.

4) Если - полюс порядка функции , то .

5) Пусть в окрестности , функции аналитична в , и

имеет простой нуль в точке . Тогда точка является простым полюсом функции и .

Пр 1 Вычислим интеграл. Так как подынтегральная функция имеет простой полюс в точке и полюс второго порядка в точке внутри контура интегрирования, то по основной теореме о вычетах и пунктам 4, 5 теоремы имеем