2014-02-24
534
ТЕОРЕМА 12.3 Пусть электрическая цепь образована двухполюсными элементами 
По этой цепи образуем связный мультиграф, сопоставив каждому элементу ребро, а каждому 
му узлу соединений этих элементов или проводнику между этими
элементами - вершины 
. Ветви, не содержащие элементов, стянем в точки. Зададим на каждом ребре ориентацию, превратив граф в орграф. Обозначим через 
матрицу падений напряжений на соответствующих элементах цепи, а через 
- матрицу токов, проходящих по соответствующим дугам. Тогда:
1) (электротехнический смысл матрицы 
) однородная СЛАУ 
совпадает с уравнением Кирхгофа для напряжений цепи;
2) (электротехнический смысл матрицы 
) а) 
; б) если из СЛАУ 
выбросить одно какое-либо уравнение, то получится уравнение Кирхгофа для токов.
Пример Составить систему уравнений Кирхгофа для электрической цепи из предыдущего примера. Найти преобразование Лапласа этой системы. Найти падения напряжений на всех двухполюсниках как функции тока в цепи источника.
◄ 1) Используя найденную в предыдущем примере цикломатиче скую матрицу, выпишем
уравнение Кирхгофа для напряжений в развернутом виде и применим к нему
преобразование Лапласа:
.
2) Построим матрицу инцидентности орграфа
.
Выпишем с ее помощью уравнение Кирхгофа для токов, и применим к нему преобразование Лапласа.
.
3) Установим связь между изображениями падений напряжений 
и токов 
в ветвях. Напомним, что на сопротивлениях, емкостях и индуктивностях связи соответственно имеют вид 
, 
,
. Тогда их изображения по Лапласу соответствен но равны 
. Это позволяет выписать следующие связи между и
.
По условию известным считается 
, а искомыми 
. Поэтому в СЛАУ для напря жений исключим последнее уравнение, содержащее 
. В СЛАУ для токов исключим, напри мер, последнее уравнение, а в оставшихся выразим изображения токов через изображе ния падений напряжений по полученным выше формулам. Полученные СЛАУ объединим:
.
Остается решить эту СЛАУ и применить обратное преобразование Лапласа, например, с помощью символьных вычислений в Matlab.
