Вариация функционала

ГЛАВА 16 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ГЛАВА 15 СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

Опр Пусть дано вероятностное пространство . Обозначим как и ранеегильберто во пространство случайных величин на вероятностном пространстве с нормой . Случайной функцией (СФ) называется отображение . Если есть конечное или счетное множество: , то случайная функция называется случайной последовательностью и обозначает ся . Если имеет мощность континуум, то называется случайным процессом (СП). При этом для каждого фиксированного случайная величина называется сечением случайного процесса, а для каждого фиксированного значения функция называется реализацией случайного процесса.

Пример , есть случайный процесс.

Опр Случайный процесс называется гауссовским, если каждая - мерная случайная величина является - мерной нормальной случайной величиной.

ЗАМЕЧАНИЕ Каждый гауссовский процесс однозначно определяется своим распределением вероятностей второго порядка и, следовательно, корреляционной функцией , где - математическое ожидание СП

Опр Случайный процесс называется стационарным в широком смысле слова (ССП), если его матожидание не зависит от :а зависит от разности аргументов :

ЗАМЕЧАНИЕ Всюду ниже мы рассматриваем ССП, и для него корреляционной функцией будем называть .

Пример Пусть в СП , где , а случайные величины центри

рованы и попарно не коррелированы. Тогда , .

Опр Преобр. Фурье корреляционной функции ССП называется спектральной плотностью ССП.

ТЕОРЕМА ( свойства спектральной плотности ССП)

1) Если непрерывна, а суммируема, то существует обратное преобразование Фурье . В частности, .

2) - четная функция. 3) Пусть стационарная линейная система управления описывается дифференциальным уравнением с передаточной функцией . Если эта система устойчива, и входной сигнал является ССП, то выходной сигнал также является ССП и обладает свойствами: а) ,

б), где .

Обозначим бесконечномерное пространство непрерывно дифференцируемых до -го порядка включительно на отрезке функций. . Непосредственно по определению проверяется, что оно является нормированным в топологии, задаваемой нормой .

Элементы этого пространства иногда удобно называть точками.

ЗАМЕЧАНИЕ В соответствии с определением имеют место такие связи

,

.

Опр Функционал , определенный в некоторой окрестности точки , называется непрерывным в точке, если .

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Линейный функционал непрерывен в каждой точке (то есть непрерывен на всем пространствеили просто непрерывен), если он непрерывен хотя бы в одной точке.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда .

Опр Пусть функционал определен в -окрестности точки . Если его приращение представимо в виде , где - линейный непрерывный функционал на , а функционал обладает свойством , то величина называется вариацией функционала в точке , а - дифференцируемым в точке .

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Пусть функционал определен в некоторой окрестности точки . Тогда .

Фиксируем , и положим . Тогда

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Имеет место равенство , то есть вариация функционала есть производная по направлению в точке (производная Гато)

Опр Пусть функционал определен в окрестности точки . имеет слабый максимум в точке (сильныймаксимум в точке ), если

.

Аналогично определяется слабый минимум (сильный минимум).

ЗАМЕЧАНИЕ Точка сильного экстремума необходимо является и точкой слабого экстремума, так как .

ТЕОРЕМА 16.1 Если функционал достигает экстремального значения в точке и дифференцируем в , то .