Задачи на условный экстремум

Опр Изопериметрической задачей (на условный экстремум) называется задача нахождения среди непрерывно дифференцируемых на функций с условиями

где -заданное число, на которой достигается экстремум .

Пример (задача Дидоны) Найти кривую в верхней полуплоскости, соединяющую точки с координатами , имеющую заданную длину , которая бы вместе с отрезком оси охватывала фигуру наибольшей площади. Здесь в качестве функционала естественно взять периметр фигуры (постоянное слагаемое опускаем), а в качестве функционала - площадь фигуры .

ТЕОРЕМА 16.5 Пусть функция имеет непрерывные частные производ ные до второго порядка включительно. Если на допустимой функции достига ется экстремум функционалаи не достигается экстремум функционала , то является экстремалью функционала ,

то есть .

Пример Предполагаем для простоты, что экстремаль задается уравнением . Тогда

.

То есть экстремальная кривая необходимо является дугой окружности с хордой длины .

_____

Опр Задачей Лагранжа (- на условный экстремум) называется задача нахождения непрерыв но дифференцируемых на функций , удовлетворяющих граничным условиям , голономным (геометрическим) связям

,

и на которых достигается экстремум функционала .

ТЕОРЕМА 16.6 Пусть функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно(по ), функции - непрерывно дифференцируемые частные производные и . Если экстремум функционала достигается на непрерывно дифференцируемых функциях , удовлетворяющих граничным условиям , , и голономным связям, то существуют такие функции (- множители Лагранжа), что функция Лагранжа удовлетворяет системе уравнений Эйлера

. Без доказательства.

ЗАМЕЧАНИЕ Аналогичная теорема имеет место, если связи неголономные (дифференциальные) .

Пример Объект управления описывается дифференциальным уравнением с

краевыми условиями . Требуется синтезировать автоматический

регулятор, оптимальный по минимуму квадратичного критерия качества:

.

Имеем задачу Лагранжа с одной неголономной связью

и функцией Лагранжа . Система уравнений Эйлера для искомых экстремалей имеет вид .

Исключаем из нее множитель Лагранжа и объединяем полученное уравнение с уравнением связи . Корни ее характеристического уравнения равны . Подставляя в общее решение граничные условия, получаем экстремаль . Вторую экстремаль получаем, подставляя первую в уравнение объекта управления

.

Вопросы к первому блоку, 2011-2012 уч. год, УУ-21,22

1. Опр. комплексной плоскости. 2. Опр. модуля, сопряженного числа, главного значения аргумента.

3. Опр. тригонометрической, показательной форм комплексного числа. 3. Опр. произведения, част ного комплексных чисел, корня n-ой степени 4. Опр. граничной точки, границы и замыкания. Пр. 5. Опр. несвязного множества, области, n-связной области. Пр. 6. Опр. непрерывной ФКП. Пр..

7. Опр. функции и их свойства. 8. Опр. функций , и их свойства. 9. Опр. функций и их свойства. 10. Опр. функции, аналитической в точке, на замкнутом множестве и в области. 11. Опр. интеграла ФКП по кривой и способы его вычисления. 12. Т. Коши для сложного контура и формула Коши. Пр. 13. Опр. ИОТОХ и полюса. Пр. 14. Опр. ряда по степеням и ряда Лорана функции. Гл. и правильная части. 15. Опр. вычета и его свойства. Пр. 16. Опр. годографа функции и корневого годографа. 17. Опр. оригинала и показателя роста. Пр. 18. Опр. изображения, преобразования Лапласа и свертки функций. 19. Опр. функции Хевисайда и гамма-функции. Пр. 20. Опр. оригинала, изображения и Z-преобразования. Пр. 21. Опр. линейного разностного уравнения и свойства его решений. Пр.

Вопросы ко второму блоку

1) Опр. случайного процесса, реализации и сечения. Пр. 2) Опр. матожидания, корреляционной функции и гауссовского СП. 3) Опр.случайной последовательности и стационарного СП Пр. 4) Опр. спектральной плотности стационарного СП и белого шума. Сво-ва.

5) Опр. графа, орграфа, матрицы инцидентности. Пр. 6) Опр.маршрута, цепи, цикла, контура. Пр. 7) Опр. подграфа, связного графа и компонент связности. Пр. 8) Опр. висячей вершины, дерева и его свойств, остовного дерева графа. Пр. 9) Опр. вектор-цикла, линейно независимых вектор-циклов и циклового базиса. Св. 10) Опр. цикломатического числа и цикломатической матрицы. Пр.

11) Опр. непрерывного функционала и вариации функционала. 12) Постановка задачи на безусловный экстремум для функции одной переменной и уравнение Эйлера. 13) Опр. пространства , слабого и сильного локальных максимумов функционала. 14) Опр. экстремали и прямых методов вариационного исчисления. 15) Постановка изопериметрической задачи. Пр. 16) Постановка задачи Лагранжа. Пр. 17) Опр. носителя КЗФ, пространства основных функций и шапочки. 18) Опр. сходимости в , обобщенной функции и регулярной обобщенной функции. 19) Опр. -ой производной. Св. Опр. плотности матер. точки. 20) Опр. -функции и ее свойства. 21) Опр. обобщенной функции медленного роста, пространства функций и носителя функции. Пр. 22) Опр. обобщенного оригинала, изображения обобщенного оригинала, обобщенного преобразова ния Лапласа. Пр.