Элементарная работа силы на возможном перемещении. Идеальные связи. Примеры

Связи и их классификация.

Механическая система, точки которой могут занимать любое положения в пространстве и иметь любые скорости, называется свободной.

Если на координаты и скорости точек системы наложены ограничения, то система называется несвободной, а ограничениями называются связями.

Аналитически связь описывается уравнением вида

Ограничивая движения механической системы, связи действуют на её точки посредством сил, которые называются реакциями связей.

При изучении равновесия и движения механических систем методами аналитической механики применяется принцип освобождения (аксиома о связях)

Связи называются голономными, если они описываются уравнениями вида

(I)

Такие связи накладывают ограничения на координаты точек, а значит, на положение системы в пространстве.

Неголономными называются связи, которые описываются уравнениями вида

(II)

Уравнения (I), в отличие от уравнений голономных связей, не могут быть проинтегрированы независимо от дифференциальных уравнений движения системы. Неголономные связи накладывают ограничения на скорости точек, поэтому их называют кинематическими.

Связи подразделяют на стационарные и нестационарные в зависимости от того, входит в явном виде время в уравнение связи или нет.

Связь, уравнение которой имеет вид , является голономной и стационарной. Для голономной нестационарной связи уравнение будет таким

Связь называется удерживающей (двухсторонней), если она описывается уравнением (равенством).

Неудерживающая (односторонняя) связь описывается неравенством.

Возможной работой силы называется работа силы на любом возможном перемещении точки её приложения

Для вычисления возможной работы можно применять известные формулы для элементарной работы силы, подставляя вместо элементарного действительного возможное перемещение точки.

Если к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси Oz приложена сила , момент которой относительно оси равен

Связи называются идеальными, если равна нулю сумма элементарных работ реакций этих связей на любом возможном перемещении системы (из занимаемого в данный момент времен положения)

Для идеальных связей

или

Примеры.

- Гладкая поверхность (плоскость) для материально точки

так как вектор расположен вдоль нормали к поверхности и, следовательно, ортогонален вектору возможного перемещения точки.

- Нерастяжимая нить. Реакция нити – сила её натяжения – ортогональна возможному перемещению точки её приложения, поэтому

- Цилиндрические и сферические шарниры, если поверхности соприкасающихся тел считаются идеально гладкими. Если твёрдое тело при помощи шарнира прикреплено к неподвижной опоре, то реакция приложена к неподвижной точке. Возможное перемещение такой точки равно нулю и

Если два твёрдых тела при помощи шарнира с идеально гладкими поверхностями соединены между собой, то

Так как

- Твёрдая шероховатая поверхность для цилиндрического катка при качении без скольжения. Контакт катка с поверхностью происходит по линии. Поэтому реакцией связи является система сил, распределенных вдоль линии контакта. Возможная работа реакции равна нулю, так как они приложены к неподвижным в каждый момент времени точкам – МЦС сечений катка.