Контрольная работа по дисциплине «Эконометрика»
1. Проведите качественный анализ связей экономических переменных, выделив зависимую и независимую переменные.
2. Постройте поле корреляции результата и фактора, сформулируйте гипотезу о виде связи (линейная или нелинейная; для нелинейной – конкретный вид)
3. Рассчитайте линейный коэффициент корреляции, определите его значимость при α=0,05.
4. Постройте интервальную оценку линейного коэффициента корреляции (с надежностью – 95%).
5. Определите параметры уравнения парной линейной регрессии и дайте интерпретацию коэффициента регрессии.
6. Рассчитайте параметры одной из функций регрессии (в соответствии с выдвинутой гипотезой (п.2):
· квадратичной;
· степенной;
· показательной;
· равносторонней гиперболы.
7. С вероятностью 0,95 оцените статистическую значимость каждого параметра и уравнений регрессии в целом.
8. Определите средние коэффициенты эластичности для каждой модели.
9. Отобразите на поле корреляций теоретически рассчитанные линии регрессии для каждой из моделей.
|
|
10. Рассчитайте для нелинейной модели индекс детерминации.
11. Постройте доверительную область для каждой модели.
12. Оцените качество построенных (пп. 5 и 7) моделей через среднюю относительную ошибку аппроксимации и F -критерий Фишера.
13. Выберете лучшую из моделей, выбор обоснуйте.
14. С вероятностью 0,95 постройте доверительный интервал ожидаемого значения результативного признака в предположении, что значение признака фактора увеличится на 5% относительно своего среднего уровня.
Вариант | Округ Признаки | Источник данных |
Приволжский федеральный округ РФ Выявить и оценить зависимость между расходованием средств пенсионного фонда за 2003 г. по субъектам РФ, млрд руб., (y 10) и поступлением средств в пенсионный фонд по субъектам РФ, млрд руб., x 10 | ПАРНРЕГР.doc. |
Таблица 1.1.
Исходные данные
Территории федерального округа | Расходование средств пенсионного фонда за 2003 г. по субъектам РФ, млрд руб., y 10 | Поступление средств в пенсионный фонд по субъектам РФ за 2003 г., млрд руб., x 10 |
Республика Башкортостан | 19,7 | 17,3 |
Республика Марий Эл | 3,5 | 2,6 |
Республика Мордовия | 4,9 | 3,6 |
Республика Татарстан | 18,9 | 17,8 |
Республика Удмуртия | 7,9 | 7,3 |
Чувашская республика | 6,4 | 5,1 |
Кировская обл. | 8,7 | 6,6 |
Нижегородская обл. | 21,8 | 17,5 |
Оренбургская обл. | 11,1 | 8,8 |
Пензенская обл. | 8,5 | 5,7 |
Пермская обл. | 15,3 | 14,1 |
Самарская обл. | 18,2 | 17,0 |
Саратовская обл. | 13,9 | 10,3 |
Ульяновская обл. | 7,6 | 5,7 |
Решение
Отобразим данн6ые в таблице пакета Statistica 6.1:
Таблица 1.2
1) Первичной величиной является Поступление средств в пенсионный фонд по субъектам РФ, а по нему будет определяться Расходование средств пенсионного фонда. Поэтому в качестве независимой переменной возьмем Поступление средств в пенсионный фонд и обозначим ее через х (фактор). Расходование средств пенсионного фонда обозначим через у (результат).
|
|
2). Построим поле корреляции результата и фактора и сформулируем гипотезу о виде связи (линейная или нелинейная; для нелинейной – конкретный вид)
Рис. 1.1. Поле корреляции результата и фактора
По виду поля корреляции видно, что связь между переменными явно имеет линейный вид.
3. Найдем линейный коэффициент корреляции и определим его значимость при α=0,05.
Найдем для переменных х и у их средние значения, дисперсии и средние квадратические отклонения.
Таблица 1.3
Средние значения: = 9,957, = 11,886.
Дисперсии:
σx2 = 31,789, σy2 = 36,141 = 174,83–11,8862 = 174,83–141,277 = 33,553
Средние квадратические отклонения:
σx = = 5,6382, σy = = 6,0118
Найдем линейный коэффициент корреляции х и у:
Таблица 1.4
Rxy = = = = 0,9851
Определим его значимость при α=0,05 с помощью t-критерия:
Таблица 1.5
tr = = = = 19,855
Эта величина значительно превышает табличное значение tα,n–2 =t0,05; 12 =2,179,
Значит, коэффициент корреляции существенно отличен от нуля, и зависимость является значимой.
4. Построим интервальную оценку линейного коэффициента корреляции (с надежностью – 95%).
Ошибка коэффициента корреляции:
mr = = = = = 0,0497
Предельная ошибка: Δ = t·σm
Доверительный интервал для среднего значения ν случайной величины Х для вероятности α=0,05:
(r–t mr < R< r+t mr) = (0,9851–2,179·0,0497 < R < 0,9851+2,179·0,0497) =
= (0,9851– 0,1083 < R < 0,9851+ 0,1083) = (0,8768 < R < 1,0934676),
т.е. интервал (0,8768; 1)
5. Параметры уравнения парной линейной регрессии y = a+bx были определены ранее (см. таблицу 4):
Таблица 1.6
Коэффициенты регрессии: a = 1,426752, b = 1,0504
Табличное значение tα,n–2 = t0,05; 12 = 2,179 – меньше, чем в таблице для a и b.
Значит оба коэффициента значимы.
y = a+b∙x = 1,4272 + 1,0504∙x
Таблица 1.7
Выдвинем гипотезу H0 о том, что построенное уравнение является надежным.
Фактическое значение FФакт = F(1,52E-10;1;12)= 394,23.
FТабл (0,05; 1; 12) = 4,75
Т.к. FФакт < FТабл, то делаем вывод, что гипотеза признается.
Ниже приведен график линейной регрессии.
Рис. 1.2. Линия линейной регрессии у на х
Интерпретация коэффициента регрессии b = 1,0504 заключается в том, что при увеличении х на 1 величина у увеличивается на 1,0504.
.
6. Рассчитаем параметры одной из функций регрессии (в соответствии с выдвинутой гипотезой (п.2):
· квадратичной;
· степенной;
· показательной;
· равносторонней гиперболы.
Для нелинейных моделей выбираем Анализ → Углубленные методы анализа → Нелинейное оценивание → Регрессия пользователя – метод наим. квадратов МНК. Появится окно «Оцениваемая функция», в котором набираем формулу нужной функции.
a) Построим квадратичную регрессию y = a+bx+cx2.
Введем формулу v2=a+b*v3+c*v3^2:
Выберем оценки параметров модели:
Уравнение квадратичной регрессии:
y = a+bx+cx2 = 0,32196+1,32433x–0,01261х2
Коэффициенты а и c не значимы: ta = 0,219, ta = 0,8258 < t0,05; 11 = 2,202
Коэффициент b значим: ta = 3,941 > t0,05; 11 = 2,202
В окне «Результаты» нажмем кнопку «Дисперсионный анализ»:
Рисунок 1.5 – Итоги дисперсионного анализа для линейной регрессии
Фактическое значение FФакт = F(0,89E-12;3;11)=683,058.
FТабл (0,05; 3;11) =3,59
Имеем F(0,89E-12;3;11) > FТабл (0,05; 3; 11), то уравнение признается надежным.
Рис. 1.6. Линия квадратичной регрессии у на х
б) Построим теперь степенную регрессию y = axb.
Набираем формулу v2=a*v3^b:
Рис. 1.7 – Итоги степенной регрессии
Получили степенную регрессию: y = 1,6751·x0,860959
Коэффициенты а и b значимы: ta = 7,39284, tb = 16,785 > t0,05; 12 = 2,179
Рис. 1.8 – Итоги дисперсионного анализа для степенной регрессии
Выдвинем гипотезу H0 о том, что построенное уравнение является надежным.
|
|
Фактическое значение FФакт = F(0,23E-14;2;12)= 1116,876.
FТабл (0,05; 2; 12) = 3,88
Проверив неравенство FФакт > FТабл, делаем вывод, что есть основания принимать гипотезу, и уравнение признается надежным.
Рис.1.9. Линия степенной регрессии у на х
в) Показательная функция у = α∙еβх. Набираем формулу v2=a*exp(b*v3):
После нажатия ОК:
Выберем оценки параметров модели:
Рисунок 2.4 – Итоги показательной регрессии
Получили показательную функцию y = aeb = 4,732064·e0,082605x
Коэффициенты а и b значимы: ta = 9,85495, tb = 12,39166 > t0,05; 12 = 2,179
Рисунок 2.6 – Итоги дисперсионного анализа для экспоненциальной регрессии
Выдвинем гипотезу H0 о том, что построенное уравнение является надежным.
Фактическое значение FФакт = F(1,7E-12;2;12)= 543.
FТабл (0,05; 2; 12) =3,88
Проверив неравенство FФакт > FТабл, делаем вывод, что нет основания отвергать гипотезу, и уравнение признается надежным.
Рис.1.9. Линия показательной регрессии у на х
г) Равносторонняя гипербола y = a + . Вводим формулу v2=a+b/v3:
Гиперболическая регрессия y = 19,7069 –
Коэффициенты а и b значимы: ta = 12,78766, tb = 6,03181 > t0,05; 12 = 2,179
Получили гиперболическую регрессию: y = 1,6751·x0,860959
Коэффициенты а и b значимы: ta = 7,39284, tb = 16,785 > t0,05; 12 = 2,179
Рисунок 1.10 – Итоги дисперсионного анализа для гиперболической регрессии
Фактическое значение FФакт = F(0,0000000116;2;12)= 120,025.
FТабл (0,05; 2; 12) =3,88
Проверив неравенство FФакт > FТабл, делаем вывод, что нет основания отвергать гипотезу, и уравнение признается надежным.
Рис. 1.11. Линия гиперболической регрессии у на х
5. Рассчитаем средние коэффициенты эластичности:
С помощью средства Анализ → Основные статистики → Описательные статистики → Итоговая таблица получим основные характеристики переменных:
а) Линейная модель y = a+bx = 1,4272 +1,0504∙x
= by/x· = 1,0504· = 0,88
б) квадратичная регрессия y = a+bx+cx2 = 0,32196+1,32433x–0,01261х2
= = = = 1,32
в) Экспоненциальная регрессия y = 4,732064·e0,082605x
= ·b = 9,95714·0,082605 = 0,8225·
г) Степенная регрессия y = 1,6751·e0,86096x: = by/x = 0,86096
д) Гиперболическая регрессия y = 19,7069 –
= = = = 0,217
10. Рассчитаем для нелинейной модели индекс детерминации.
|
|
Индекс детерминации – квадрат коэффициента корреляции, т.е. R2. Он характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую регрессией, в его общей дисперсии. Индекс детерминации R2 выводится в последней строке диалоговом окне «Результаты: …» (как «Объясненная доля дисперсии)».
а) линейная модель y = a+bx: R2 = 0,970;
б) квадратическая модель y = a+bx+cx2: R2 = 0,972;
в) степенная модель y = axb: R2 = 0,972;
г) показательная модель y= aebx: R2 = 0,943;
д) гиперболическая модель y = a+b/x: R2 = 0,752.
11. Построим доверительную область для каждой модели.
а) Линейная модель:
Почти все точки лежат внутри доверительной области
б) Квадратичная модель:
Почти все точки лежат внутри доверительной области