double arrow

Базис и координаты вектора


Литература.

Основные вопросы.

Цель лекции.

Решение.

Матрицы и действия над ними. Решение систем линейных уравнение матричным методом.

1.Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В = kА, элементы которой = для

2. Сложение матриц.Суммой двух матриц А и В одинакового размера mn называется матрица C = A+B, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

3. Умножение матриц.Умножение матрицы А на матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Произведением АВ двух матриц и матрицы называется такая матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Пример. Найти произведение матриц АВ, если

.

Таким образом, получаем

Обратная матрица.Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если произведение этих матриц назависимо от порядка сомножителей равно единичной матрице.

Для всякой квадратной матрицы А, оопределитель которой не равен нулю, существует единственная обратная матрица . Обратная матрица вычисляется по формуле




Всякую сисстему линейных уравнений можно записать, используя действия над матрицами и их свойства, в виде одного матричного уравнения

,

где

Решение матричного уравнения будет

Пусть в матрице А размером mn выбраны произвольно k строк и k столбцов (k<min(m,n)). Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой называется минором k-го порядка матрицы А.

Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы. Ранг матрицы А обозначается rangA или r(A).

Старший преподаватель Невердовский В.Г.

Лекция №2 «Элементы векторной алгебры»

Изучить элементы векторной алгебры и их применение, необходимые при изучении общеинженерных и специальных дисциплин. Развить умения и навыки студентов применять полученные знания в своей дальнейшей деятельности.

1. Определение вектора, основные понятия. Действия над векторами.

2. Базис и координаты вектора.

3. Скалярное и векторное произведения двух векторов и их свойства.

4. Смешанное произведение трех векторов и его свойства.

1. Хасеинов К.А. Каноны математики. Учебник.Алматы.2003 г.

2. Невердовский В.Г. «Элементы линейной и векторной алгебры. Аналитическая геометрия». Учебное пособие. Академия ГА 2012г.

3. Невердовский В.Г., Байбазаров М.Б. Сборник задач по высшей математике. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Алматы. 2010г.

Краткое содержание лекции.



1. Определение вектора, основные понятия. Действия над векторами.

Геометрическим вектором или просто вектором называется прямолинейный отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление.

Вектор обозначается символом или , где А - начало вектора и В - егоконец. Длина вектора называется его модулем и обозначается символом или .

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Векторы, лежащие на одной плоскости или на параллельных плоскостях, называются компланарными.

Векторы называются равными, если они коллинеарны, имеют равные модули и одинаковые направления.

Сложение векторов. Суммой двух векторов называется вектор, имеющий начало в начале первого и конец в конце второго при условии, что конец первого и начало второго совмещены.

Вычитание векторов. Разностью двух векторов и называется такой вектор , который в сумме с вычитаемым вектором дает вектор

Умножение числа на вектор.Произведением числа k, k¹0, на вектор называется новый вектор модуль которого равен произведению абсолютной величины числа k и модуля вектора , а направление совпадает с направлением вектора , если k>0, и будет противоположным, если k<0.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется базисом в пространстве. Всякий вектор может быть представлен с помощью векторов в виде векторной суммы +Y , где числа называются координатами вектора в базисе (

Упорядоченная тройка взаимно перпендикулярных, единичных векторов называется декартовым базисом в пространстве Разложение произвольного вектора в этом базисе имеет вид +Y Иногда вектор задают в виде Y Числа будут координатами вектора в базисе ( Координаты вектора являются проекциями этого вектора на оси координат. Координаты вектора однозначно определяются по формулам



Модуль вектора вычисляется по формуле

Косинусы углов, образуемые вектором с координатными осями, называются направляющими косинусами. Hаправляющие косинусы удовлетворяют условию

Если векторы заданы своими координатами

, то Y







Сейчас читают про: