Базис и координаты вектора

Литература.

Основные вопросы.

Цель лекции.

Решение.

Матрицы и действия над ними. Решение систем линейных уравнение матричным методом.

1. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В = kА, элементы которой = для

2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера mn называется матрица C = A+B, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

3. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Произведением АВ двух матриц и матрицы называется такая матрица, каждый элемент которой равен сумме произведений i -ой строки матрицы А на соответствующие элементы j- го столбца матрицы В.

Пример. Найти произведение матриц АВ, если

.

Таким образом, получаем

Обратная матрица. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если произведение этих матриц назависимо от порядка сомножителей равно единичной матрице.

Для всякой квадратной матрицы А, оопределитель которой не равен нулю, существует единственная обратная матрица. Обратная матрица вычисляется по формуле

Всякую сисстему линейных уравнений можно записать, используя действия над матрицами и их свойства, в виде одного матричного уравнения

,

где

Решение матричного уравнения будет

Пусть в матрице А размером mn выбраны произвольно k строк и k столбцов (k<min (m,n)). Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой называется минором k -го порядка матрицы А.

Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы. Ранг матрицы А обозначается rangA или r(A).

Старший преподаватель Невердовский В.Г.

Лекция №2 «Элементы векторной алгебры»

Изучить элементы векторной алгебры и их применение, необходимые при изучении общеинженерных и специальных дисциплин. Развить умения и навыки студентов применять полученные знания в своей дальнейшей деятельности.

1. Определение вектора, основные понятия. Действия над векторами.

2. Базис и координаты вектора.

3. Скалярное и векторное произведения двух векторов и их свойства.

4. Смешанное произведение трех векторов и его свойства.

1. Хасеинов К.А. Каноны математики. Учебник.Алматы.2003 г.

2. Невердовский В.Г. «Элементы линейной и векторной алгебры. Аналитическая геометрия». Учебное пособие. Академия ГА 2012г.

3. Невердовский В.Г., Байбазаров М.Б. Сборник задач по высшей математике. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Алматы. 2010г.

Краткое содержание лекции.

1. Определение вектора, основные понятия. Действия над векторами.

Геометрическим вектором или просто вектором называется прямолинейный отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление.

Вектор обозначается символом или, где А - начало вектора и В - егоконец. Длина вектора называется его модулем и обозначается символом или.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Векторы, лежащие на одной плоскости или на параллельных плоскостях, называются компланарными.

Векторы называются равными, если они коллинеарны, имеют равные модули и одинаковые направления.

Сложение векторов. Суммой двух векторов называется вектор, имеющий начало в начале первого и конец в конце второго при условии, что конец первого и начало второго совмещены.

Вычитание векторов. Разностью двух векторов и называется такой вектор, который в сумме с вычитаемым вектором дает вектор

Умножение числа на вектор. Произведением числа k, k¹0, на вектор называется новый вектор модуль которого равен произведению абсолютной величины числа k и модуля вектора, а направление совпадает с направлением вектора, если k >0, и будет противоположным, если k< 0.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется базисом в пространстве. Всякий вектор может быть представлен с помощью векторов в виде векторной суммы +Y, где числа называются координатами вектора в базисе (

Упорядоченная тройка взаимно перпендикулярных, единичных векторов называется декартовым базисом в пространстве Разложение произвольного вектора в этом базисе имеет вид +Y Иногда вектор задают в виде Y Числа будут координатами вектора в базисе (Координаты вектора являются проекциями этого вектора на оси координат. Координаты вектора однозначно определяются по формулам

Модуль вектора вычисляется по формуле

Косинусы углов, образуемые вектором с координатными осями, называются направляющими косинусами. Hаправляющие косинусы удовлетворяют условию

Если векторы заданы своими координатами

, то Y