Системы линейных уравнений и методы их решений

Основные свойства определителей.

Литература.

Основные вопросы.

1. Определители и их свойства.

2. Решение систем линейных уравнений различными методами.

3. Матрицы и действия над ними. Решение систем линейных уравнение матричным методом.

1. Хасеинов К.А. Каноны математики. Учебник. Алматы.2003 г.

2. Невердовский В.Г. «Элементы линейной и векторной алгебры. Аналитическая геометрия». Учебное пособие. Академия ГА 2012г.

3. Невердовский В.Г., Байбазаров М.Б. Сборник задач по высшей математике. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Алматы. 2010г.

Краткое содержание лекции.

1. Определители и их свойства.

Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел, расположенных в m строках и n столбцах.

Числа называются элементами матрицы, где i – номер строки, j – номер столбца. В сокращенной форме матрицы записываются в виде А=,

Если mn,то матрица называется квадратной. Всякой квадратной матрице любого порядка можно поставить в соответствие число, называемое определителем матрицы. Определитель матрицы А обозначается или.

Определителем квадратной матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое находится по формуле:

Определителем третьего порядка, соответствующим квадратной матрице третьего порядка, называется число, которое находится по формуле:

=

=. Вычисление определителя третьего порядка производится по следующей схеме (правило треугольника)

(+1) (-1)

1. Значение определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами с сохранением порядка.

2. Определитель, имеющий нулевую строку (столбец), пропорциональные или равные строки (столбцы), то такой определитель раввен нулю.

3. Если к элементам какого-либо ряда определителя прибавить элементы параллельного ряда, умноженные на любое число, то определитель не изменится.

4.Постоянный множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

5. Разложение определителя по элементам строки или столбца.

Минором элемента определителя называется определитель, получаемый из данного вычеркиванием той строки и того столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком. =.

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнени

=

Пример. Вычислить определитель третьего порядка, разлагая его по элементам первой строки.

Пусть - определитель матрицы А системы, а определитель, получаемый из определителя заменой j -го столбца (коэффициентов при) столбцом свободных членов. Тогда, если то система имеет единственное решение, определяемое по формулам Крамера

(j =1,2,3).

Пример. Решить по формулам Крамера систему линейных уравнений

Решение. Вычислим определитель системы и определители, получаемые из определителя системы заменой, соответственно, первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов.

;

.

По формулам Крамера найдем решение системы

Ответ: