Основные вопросы

Лекция № 8

Свойства функций, непрерывных на замкнутом интервале.

Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация.

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке, если она:

1) определена в точке и в некоторой ее окрестности;

2) имеет в этой точке односторонние пределы, равные значению функции в точке, т.е.

Можно дать другое определение непрерывности функции в точке, основанное на понятии приращения функции.

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке, если она определена в этой точке и в некоторой ее окрестности и бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

На основании этого определения можно доказать непрерывность основных элементарных функций в произвольной точке своей области определения.

Функция y = f(x) называется непрерывной в интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Точка а называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) в этой точке не является непрерывной. Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а. Тогда а назыввается:

1) точкой устранимого разрыва функции f(x), если существует, но либо f(x) не определена в точке а, либо f(a)¹A (если положить f(a)=A, то функция f(x) станет непрерывной в точке а, т.е. разрыв будет устранен);

2) точкой разрыва первого рода функции f(x), если существуют f(a+ 0 ) и f(a - 0 ), но f(a+ 0 ) ¹ f(a- 0 );

3) точкой разрыва второго рода функции f(x), если в точке а не существует по крайней мере один из односторонних пределов функции f(x).

Теорема. Функция y = f(x), непрерывная на замкнутом интервале [ a,b ], обладает следующими свойствами:

1) она достигает на [ a,b ] своего наименьшего и наибольшего значений;

2) она ограничена на этом замкнутом интервале;

3) для любого числа А, удовлетворяющего неравенству, существует такая точка cÎ[a,b], для которой f =A;

4) если, то существует такая точка, что

Тема: Производная функции. Правила дифференцирования.

Цель лекции: Изучить важнейшие понятия математического анализа: понятие производной функции, ее физический и геометрический смыслы и правила дифференцирования.

8. Определение производной.

9. Физический и геометрический смыслы производной. Уравнение касательной и нормали к графику функции.

10. Правила дифференцирования.

11. Таблица производных основных элементарных функций.

Литература:

4. Пискунов Р.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М, Наука 1985. Т.1.гл. ІІI §1-20.

5. Невердовский В.Г. Производная и дифференциал. Учебное пособие. А: АГА, 2004.