Правила дифференцирования. Определение производной

Определение производной.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки. Приращением этой функции в точке называется функция аргумента:

Разностное отношение также является функцией.

Производной функции y = f(x) в точке называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента, когда. Производная функции y = f(x) в точке обозначается или. Будем иметь

Операция нахождения производной называется дифференцированием. Всякая функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке интервала (а,b), называется дифференцируемой в этом интервале. Имеет место теорема: Всякая функция, дифференцируемая на интервале (a,b), непрерывна на этом интервале. Обратное утверждение не всегда верно (пример: y = |x| в точке х =0).

2. Физический и геометрический смыслы производной. Уравнение касательной и нормали к графику функции y = f(x).

Производная есть скорость изменения функции y = f(x). в точке (другими словами, скорость изменения зависимой переменной у по отношению к изменению независимой переменной х в точке). В частности, если х – время, y = f(x) – координата точки, движущейся по прямой, в момент х, то - мгновенная скорость точки в момент времени.

Рассмотрим теперь график функции y = f(x)

Точки M и N имеют следующие координаты:). Угол между секущей МN обозначим j(D х). Касательной к графику функ- ции y= f(x) в точке М называется предельное положение секущей MN, когда точка N стремится по	y N M a O.. x
графику в точку М. При этом угол j будет стремиться к углу a. Тогда

. Но

Таким образом, производная функции y=f(x) в точке есть угловой коэффициент касательной, проходящей через точку М графика функции y=f(x). Уравнение касательной в этом случае имеет вид:

Нормалью к графику функции называется прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной. Учитывая условие перпендикулярности двух прямых, уравнение нормали будет иметь вид

1) Если функции и дифференцируемы в точке, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии) также дифференцируемы в точке, причем справедливы равенства:

2) Производная сложной функции.

Если функция дифференцируема в точке, а функция y = f(u) дифференцируема в точке, то сложная функция дифференцируема в точке, и справедлива формула

3) Производная обратной функции.

Пусть задана функция y=f(x). Решив это уравнение относительно х, получим х как функцию от у: Эта функция является обратной для функции y=f(x) Установим связь между производными этих двух функций.

Условием существования обратной функции является строгая монотонность и непрерывность данной функции.

Если функция y=f(x) дифференцируема в (a,b), имеет непрерывную обратную функцию x=j(y) и то тоже существует, и справедлива формула

4) Производная функции, заданной параметрически.

Функция y=f(x) называется заданной параметрически, если система уравнений определяет у как функцию от х.

Если функция y=f(x) задана параметрически, и функции дифференцируемы, причем то производная существует и находится по формуле

5) Производная функции, заданной неявно.

Пусть соотношение F(x,y)= 0 определяет функцию y=f(x). Для нахождения производной функции f(x), задаваемой с помощью соотношения F(x,y)= 0 (неявно заданной) нужно:

1. Найти производные от обеих частей соотношения F(x,y)= 0 по х, считая y функцией от х (применяя правило дифференцирования сложной функции).

2. Полученное уравнение разрешить относительно у’.

Пример. Найти производную функции, заданной неявно.

Решение. Дифференцируем обе части равенства по х, считая у функцией от х.

Полученное алгебраическое уравнение решаем относительно у ’.