Решение нормальной линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом сведения к одному уравнению высшего порядка (метод исключения)

Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные понятия и определения.

Литература

Основные вопросы.

Лекция 20.

Тема: Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Цель лекции. Изучить основные свойства и методы решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

1. Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные понятия и определения.

2. Решение нормальной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом сведения к одному уравнению высшего порядка (метод исключения).

3. Решение нормальной системы дифференциальных уравнений методом Эйлера.

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.- М. Наука,1985 –Т.1.-456с.

2. Хасеинов К.А. Каноны математики. Учебник –Алматы,2003 –686с.

3. Байбазаров М.Б., Байтуреев К.Т., Невердовский В.Г. Дифференциальные уравнения. Сборник задач по высшей математике. – Алматы, 2012–110с.

Системой обыкновенных дифференциальных уравнений называется совокупность дифференциальных уравнений, которые содержат общие для всей совокупности функции одной независимой переменной и их производные до некоторых порядков.

Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет следующий вид (для удобства ограничимся тремя уравнениями с тремя искомыми функциями).

, (1)

где неизвестные функции независимой переменной x, подлежащие определению, а известные функции от, заданные и непрерывные в некоторой общей области определения. Число n = 3 называется порядком системы.

Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно то система дифференциальных уравнений называется линейной.

Множество функций

, (2)

определенных и непрерывно дифференцируемых для всех, называется решением системы (1) в этом интервале, если функции (2) обращают уравнения системы (1) в тождества, справедливые для всех значений

Общим решением системы (1) называется множество функций

,

зависящие от трех произвольных постоянных, которые при любых допустимых значениях постоянных обращают уравнения системы (1) в тождества.

Частным решением системы (1) называется любое решение этой системы, получаемое из общего при конкретных значениях произвольных постоянных.

Задача получения частного решения системы (1), удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши. Начальные условия для системы (1) имеют вид

где заданные числа.

Нормальная линейная однородная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид

, (3)

Все коэффициенты являются действительными числами.

Одним из методов решений нормальных систем дифференциальных уравнений является метод исключения неизвестных функций, который сводит систему уравнений к одному уравнению n -го порядка с одной неизвестной функцией или к нескольким таким уравнениям, причем сумма порядков этих уравнений равна n.

Сведение системы уравнений (1) к одному уравнению n -го порядка (если оно возможно) достигается последовательным дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных функций, кроме одной.

Решив полученное уравнение, находят общее решение уже без новых интегрирований.

Пример 1. Найти общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Решение. Дифференцируем первое уравнение системы по х и из полученного равенства исключим и, заменяя их значениями из данной системы. Будем иметь

Из первого уравнения системы найдем,

Заменим в полученном дифференциальном уравнении второго порядка. Будем иметь:

Полученное дифференциальное уравнение является линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами относительно. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни.

Общее решение имеет вид

Подставляя значения для и в выражение для, получим

Таким образом, общее решение системы уравнений, найденное методом исключения, будет

Если в правую часть системы уравнений (3) входят функции от х, то такая система дифференциальных уравнений называется неоднородной. Применяя метод исключения к неоднородной системе уравнений, получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n -го порядка, общее решение которого находится указанным ранее методом.

Пример 2. Найти частное решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Решение. Дифференцируя по х первое уравнение системы, будем иметь

Из первого уравнения определим и подставим во второе уравнение. Тогда

Подставляя полученное выражение в соотношении (*), будем иметь

Таким образом, находим:

Общее решение полученного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид

.

Найдем производную

Подставим найденные значения в выражение для, получим

.

Таким образом, общее решение данной системы имеет вид

Подберём постоянные и так, чтобы удовлетворялись начальные условия. Из выражения для и получаем

Решая полученную систему, находим

Таким образом, решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид